Exercício 2

Uma partícula percorre a cúbica retorcida: R(t)=(t, t^2, t^3). Ache o trabalho total, se o movimento foi causado pelo campo de forças F(x, y, z)=(e^x) i+(x e^z) j+(x sen(pi y^2) k. Isto é, calcule:
integralC F cdot d R

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
integralCFcdot dR
onde C é a cúbica retorcida dada por
R(t) = l(t,;t^2,;t^3r),
e o campo de força
F(x,y,z) = l(e^x,;x,e^z,;x,sen(pi y^2)r)
O método é parametrizar o integral em função de t, calcular F(R(t)),
R'(t), fazer o produto escalar e integrar em t. Para obter um valor numérico é preciso conhecer os limites t=t0 e t=t1.

Passo 2

Parametrização e derivada
R(t) = l(t,;t^2,;t^3r) Longrightarrow R'(t) = l(1,;2t,;3t^2r)

Passo 3

Campo ao longo da curva
F(R(t)) = l(e^t,;t,e^t^3,;t,sen(pi,t^4)r)
Produto escalar
F(R(t))cdotR'(t) = e^tcdot1 ;+; (t,e^t^3)cdot(2t);+;(t,sen(pi t^4))cdot(3t^2) = e^t + 2t^2 e^t^3 + 3t^3sen(pi t^4)

Passo 4

Integramos em t para obter uma primitiva
integral!l(e^t + 2t^2 e^t^3 + 3t^3sen(pi t^4)r),dt
Separando termos:
integral e^t dt = e^t,
integral 2t^2 e^t^3 dt com u=t^3, du=3t^2dt Longrightarrow 23e^t^3,
integral 3t^3sen(pi t^4),dt com v=pi t^4, dv=4pi t^3 dt Longrightarrow -34picos(pi t^4)
Logo, uma antiderivada é
e^t ;+;tfrac23e^t^3;-;tfrac34picosl(pi t^4r)

Passo 5

O valor do trabalho entre t=t0 e t=t1 é
W =integralt0^t1F(R(t))cdotR'(t),dt =l[e^t + tfrac23e^t^3 - tfrac34picosl(pi t^4r)r]t0^t1

Resposta

W =l[e^t + tfrac23e^t^3 - tfrac34picos!l(pi t^4r)r]t0^t1

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