Seja f uma função diferenciável em R^2 e considere os pontos A(1,3), B(3,4), C(2,4) e D(6,15). Sabe-se que a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor A B /|A B| é 3 raiz5 e que a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor A C /|A C| é raiz8. Encontre o vetor gradiente nabla f(1,3) e a derivada direcional de f em A na direção e sentido do versor u=A D /|A D|.

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável em R^2 e dá duas derivadas direcionais em A=(1,3):
a direção de AB (versor) tem DuABf(A)=3raiz5 e a de AC tem DuACf(A)=raiz8.
Queremos achar o vetor gradiente nabla f(1,3)=(fx(1,3),fy(1,3)) e depois a derivada direcional em A na direção de AD.
O conteúdo principal aqui é que
Duf(A)=nabla f(A)cdotu,
onde u é o versor da direção dada.

Passo 2

Calculemos primeiro AB e seu versor:
AB=(3-1,,4-3)=(2,1), |AB|=raiz2^2+1^2=raiz5,
uAB=AB|AB| =l(2raiz5,1raiz5r)
Pela definição,
nabla f(A)cdotuAB =2raiz5fx(1,3)+1raiz5fy(1,3) =3raiz5
Multiplicando tudo por raiz5, obtemos a equação
2,fx(1,3)+fy(1,3)=15
Agora para AC:
AC=(2-1,,4-3)=(1,1), |AC|=raiz2,
uAC=l(1raiz2,1raiz2r),
e
nabla f(A)cdotuAC =1raiz2fx(1,3)+1raiz2fy(1,3) =raiz8=2raiz2
Multiplicando por raiz2, vem
fx(1,3)+fy(1,3)=4

Passo 3

Temos o sistema linear nas incógnitas fx(1,3) e fy(1,3):
2,fx+fy=15, fx+fy=4
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2fx - fx) + (fy - fy)=15-4 Longrightarrow fx(1,3)=11
Então da segunda equação
11 + fy(1,3)=4 Longrightarrow fy(1,3)=-7
Logo
boxednabla f(1,3)=(11,,-7)

Passo 4

Agora calculamos a direção de AD:
AD=(6-1,,15-3)=(5,12), |AD|=13,
uAD=l(513,1213r)
A derivada direcional em A nessa direção é
DuADf(A) =nabla f(1,3)cdotuAD =(11,,-7)cdotl(513,1213r) =11cdot5 + (-7)cdot1213 =55-8413 =-2913

Resposta

nabla f(1,3)=(11,,-7)
Duf(1,3)=-2913

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