Exercício 3: A partir das definições de velocidade média e aceleração média derive as equações da cinemática para o movimento unidimensional sob aceleração constante.

Passo 1

O enunciado pede para derivar as equações da cinemática unidimensional com aceleração constante a partir das definições de velocidade média e aceleração média. Vamos usar que
bar v = De<a xDe<a t
e
bar a = De<a vDe<a t
e que, sob aceleração constante, bar a=a e a velocidade varia de forma linear no tempo.

Passo 2

Definição de aceleração média:
bar a = De<a vDe<a t = v - v0t - t0
Como a aceleração é constante, bar a = a. Escolhendo t0=0 para simplificar, obtemos
a = v - v0t Longrightarrow v = v0 + a,t

Passo 3

Definição de velocidade média:
bar v = De<a xDe<a t = x - x0t
Para aceleração constante a velocidade varia linearmente, logo a média aritmética dos extremos vale
bar v = v0 + v2
Substituindo em bar v = tfracx - x0t, chega-se a
x - x0 = v0 + v2,t

Passo 4

Substituindo v = v0 + a,t na expressão de x - x0 do Passo 3:
x - x0 = v0 + (v0 + a,t)2,t = l(v0 + tfrac12,a,tr),t = v0,t + 12,a,t^2

Passo 5

Para obter a relação sem t, isolamos t em v = v0 + a,t:
t = v - v0a,
e substituímos na fórmula
;x - x0 = tfracv0 + v2,t:
x - x0 = v0 + v2,v - v0a ;Longrightarrow; 2,a,(x - x0) = (v + v0)(v - v0) = v^2 - v0^2,
ou seja,
v^2 = v0^2 + 2,a,(x - x0)

Resposta

v = v0 + a,t
x = x0 + v0,t + tfrac12,a,t^2
v^2 = v0^2 + 2,a,(x - x0)

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