Exercício 8. Patrcia possui 48 flores amarelas, 60 flores rosas, and 72 flores vermelhas, e precisa fazer arranjos de maneira that todos os arranjos tenham a mesma quantidade of flores amarelas, a mesma quantidade of flores vermelhas, e a mesma quantidade de flores rosas. Quantas flores cada arranjo possuirá se a quantidade de arranjos deve ser a menor possível e todas as flores sejam utilizadas?

Passo 1

O enunciado dá as quantidades de flores por cor que a Patrícia tem:
  • Flores amarelas: 48.
  • Flores rosas: 60.
  • Flores vermelhas: 72.
O que o enunciado pergunta (texto original): “Quantas flores cada arranjo possuirá se a quantidade de arranjos deve ser a menor possível e todas as flores sejam utilizadas?”

Passo 2

Interpretação do enunciado e escolha do objetivo para resolver (importante):
  • Há uma ambiguidade na frase “a quantidade de arranjos deve ser a menor possível”: matematicamente, o menor número positivo de arranjos que divide tudo seria 1 (um arranjo com todas as flores), o que torna a questão trivial.
  • No entanto, o enunciado típico desse tipo de problema quer dividir as flores em arranjos idênticos, usando todas as flores, e normalmente pede os arranjos com o menor número de flores possível — isto é, maximizar o número de arranjos. Dessa interpretação obtemos uma solução interessante e didática.
  • Vou adotar a interpretação tradicional: queremos o maior número possível de arranjos idênticos (ou, equivalentemente, cada arranjo com o menor número possível de flores), usando todas as flores. Explico por que mais adiante.

Passo 3

Raciocínio matemático essencial (ideia chave):
  • Se quisermos fazer k arranjos idênticos e usar todas as flores, então k deve dividir simultaneamente 48, 60 e 72. Ou seja, k é um divisor comum de 48, 60 e 72.
  • Para obter o maior número possível de arranjos k (o que dá o menor número de flores por arranjo), devemos escolher k igual ao maior divisor comum de 48, 60 e 72. Esse número é chamado de máximo divisor comum (MDC), também conhecido como greatest common divisor (GCD).
  • Depois de achar k=\mathrm{MDC}(48,60,72), cada arranjo terá \dfrac{48}{k} flores amarelas, \dfrac{60}{k} flores rosas e \dfrac{72}{k} flores vermelhas. O total por arranjo é a soma dessas três frações.

Passo 4

Como calcular o \mathrm{MDC}: método com fatoração prima (muito didático)
  • Fazer a fatoração prima de cada número:
48 = 2^4 \cdot 3
60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5
72 = 2^3 \cdot 3^2
  • Para encontrar o \mathrm{MDC}, pegamos, para cada primo, a menor potência que aparece nas três fatorações:
    • Para o primo 2: as potências são 2^4,2^2,2^3; a menor potência é 2^2.
    • Para o primo 3: as potências são 3^1,3^1,3^2; a menor potência é 3^1.
    • O primo 5 aparece apenas em 60, logo não entra no \mathrm{MDC} (porque não aparece em todos).
  • Assim:
\mathrm{MDC}(48,60,72)=2^2\cdot3=4\cdot3=12.

Passo 5

Interpretação do resultado do \mathrm{MDC}:
  • O maior número de arranjos possíveis é k=12. (Isto significa que podemos formar 12 arranjos idênticos usando todas as flores.)
  • Reforçando a escolha: escolhemos o \mathrm{MDC} porque queremos o maior k que divide todas as quantidades — quanto maior k, menores serão as quantidades por arranjo. Isso corresponde à interpretação “cada arranjo com o menor número possível de flores” (ou “máximo número de arranjos”).

Passo 6

Calcular quantas flores de cada cor cabem em cada arranjo:
  • Flores amarelas por arranjo:
\frac{48}{12}=4.
  • Flores rosas por arranjo:
\frac{60}{12}=5.
  • Flores vermelhas por arranjo:
\frac{72}{12}=6.

Passo 7

Total de flores por arranjo:
4+5+6=15.

Passo 8

Checagem rápida (confirmação):
  • Se cada arranjo tem 15 flores e há 12 arranjos, o total é 12\cdot15=180, que é exatamente 48+60+72=180. As divisões foram inteiras, tudo foi usado e todos os arranjos são idênticos — perfeito para a prova.

Resposta

Cada arranjo terá 15 flores: 4 amarelas, 5 rosas e 6 vermelhas.

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