Exercício 8. Patrcia possui 48 flores amarelas, 60 flores rosas, and 72 flores vermelhas, e precisa fazer arranjos de maneira that todos os arranjos tenham a mesma quantidade of flores amarelas, a mesma quantidade of flores vermelhas, e a mesma quantidade de flores rosas. Quantas flores cada arranjo possuirá se a quantidade de arranjos deve ser a menor possível e todas as flores sejam utilizadas?
Passo 1
O enunciado dá as quantidades de flores por cor que a Patrícia tem:
- Flores amarelas:
. - Flores rosas:
. - Flores vermelhas:
.
O que o enunciado pergunta (texto original): “Quantas flores cada arranjo possuirá se a quantidade de arranjos deve ser a menor possível e todas as flores sejam utilizadas?”
Passo 2
Interpretação do enunciado e escolha do objetivo para resolver (importante):
- Há uma ambiguidade na frase “a quantidade de arranjos deve ser a menor possível”: matematicamente, o menor número positivo de arranjos que divide tudo seria
(um arranjo com todas as flores), o que torna a questão trivial. - No entanto, o enunciado típico desse tipo de problema quer dividir as flores em arranjos idênticos, usando todas as flores, e normalmente pede os arranjos com o menor número de flores possível — isto é, maximizar o número de arranjos. Dessa interpretação obtemos uma solução interessante e didática.
- Vou adotar a interpretação tradicional: queremos o maior número possível de arranjos idênticos (ou, equivalentemente, cada arranjo com o menor número possível de flores), usando todas as flores. Explico por que mais adiante.
Passo 3
Raciocínio matemático essencial (ideia chave):
- Se quisermos fazer
arranjos idênticos e usar todas as flores, então deve dividir simultaneamente , e . Ou seja, é um divisor comum de , e . - Para obter o maior número possível de arranjos
(o que dá o menor número de flores por arranjo), devemos escolher igual ao maior divisor comum de , e . Esse número é chamado de máximo divisor comum (MDC), também conhecido como greatest common divisor (GCD). - Depois de achar
, cada arranjo terá flores amarelas, flores rosas e flores vermelhas. O total por arranjo é a soma dessas três frações.
Passo 4
Como calcular o
: método com fatoração prima (muito didático)
- Fazer a fatoração prima de cada número:
- Para encontrar o
, pegamos, para cada primo, a menor potência que aparece nas três fatorações: - Para o primo
: as potências são ; a menor potência é . - Para o primo
: as potências são ; a menor potência é . - O primo
aparece apenas em , logo não entra no (porque não aparece em todos).
- Para o primo
- Assim:
Passo 5
Interpretação do resultado do
:
- O maior número de arranjos possíveis é
. (Isto significa que podemos formar arranjos idênticos usando todas as flores.) - Reforçando a escolha: escolhemos o
porque queremos o maior que divide todas as quantidades — quanto maior , menores serão as quantidades por arranjo. Isso corresponde à interpretação “cada arranjo com o menor número possível de flores” (ou “máximo número de arranjos”).
Passo 6
Calcular quantas flores de cada cor cabem em cada arranjo:
- Flores amarelas por arranjo:
- Flores rosas por arranjo:
- Flores vermelhas por arranjo:
Passo 7
Total de flores por arranjo:
Passo 8
Checagem rápida (confirmação):
- Se cada arranjo tem
flores e há arranjos, o total é , que é exatamente . As divisões foram inteiras, tudo foi usado e todos os arranjos são idênticos — perfeito para a prova.
Resposta
Cada arranjo terá
flores:
amarelas,
rosas e
vermelhas.