Exercício 7. Resolva:
Determine x e y inteiros tais que 3 x+5 y=11.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os inteiros x e y que satisfazem a equação
3x+5y=11.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • Coeficientes: 3 (multiplicando x) e 5 (multiplicando y).
  • Termo independente: 11.
  • Procura-se solução em inteiros: x,y\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Verificar se existem soluções inteiras é simples usando o máximo divisor comum. Calculemos
\gcd(3,5)=1.
Uma equação linear diofantina ax+by=c tem solução inteira se, e somente se, \gcd(a,b) divide c. Aqui 1 divide 11, logo existem soluções inteiras.

Passo 3

Encontrar uma solução particular. Podemos tentar pequenos valores ou usar congruência modular. Vou fazer as duas coisas de forma bem didática.
Método por tentativa rápida (observação):
  • Testando x=2 e y=1 obtemos 3\cdot2+5\cdot1=6+5=11. Logo (x_0,y_0)=(2,1) é uma solução particular.
Método por congruência (explicação alternativa):
  • Reduce a equação módulo 5: 3x \equiv 11 \pmod{5}. Como 11\equiv1\pmod{5}, temos 3x\equiv1\pmod{5}.
  • O inverso de 3 módulo 5 é 2 (pois 3\cdot2=6\equiv1\pmod{5}), então x\equiv2\pmod{5}.
  • Assim x=2+5t para algum t\in\mathbb{Z}. Substituindo na equação obtém-se y=1-3t. Isso também leva à mesma solução particular quando t=0: x=2,y=1.

Passo 4

Obter a forma geral das soluções (explicação do porquê da fórmula).
  • Seja (x_0,y_0)=(2,1) uma solução particular, isto é, 3x_0+5y_0=11.
  • Qualquer outra solução inteira (x,y) deve satisfazer
3x+5y=11=3x_0+5y_0.
Subtraindo as equações:
3(x-x_0)+5(y-y_0)=0.
Isso implica
3(x-x_0)=-5(y-y_0).
O lado direito é múltiplo de 5, logo o lado esquerdo também precisa ser múltiplo de 5. Como \gcd(3,5)=1, isso só acontece se x-x_0 for múltiplo de 5. Portanto existe t\in\mathbb{Z} tal que
x-x_0=5t \quad\Rightarrow\quad x=x_0+5t.
Substituindo em 3(x-x_0)=-5(y-y_0) obtemos 3\cdot5t=-5(y-y_0), ou seja y-y_0=-3t, então
y=y_0-3t.
Portanto a forma geral das soluções é
x = x_0+5t,\qquad y = y_0-3t,\qquad t\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Aplicando com x_0=2 e y_0=1 obtemos explicitamente
x=2+5t,\qquad y=1-3t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Vamos checar alguns valores de t para ganhar confiança:
  • Para t=0: (x,y)=(2,1). Verificação: 3\cdot2+5\cdot1=11.
  • Para t=1: (x,y)=(7,-2). Verificação: 3\cdot7+5\cdot(-2)=21-10=11.
  • Para t=-1: (x,y)=(-3,4). Verificação: 3\cdot(-3)+5\cdot4=-9+20=11.
Esses exemplos confirmam que a fórmula gera soluções inteiras corretas e que mudando t obtemos todas as soluções (porque qualquer solução difere da particular por múltiplos de (5,-3)).

Resposta

x=2+5t,\qquad y=1-3t,\qquad t\in\mathbb{Z}

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