Exercício 7. Resolva:
Determine
e
inteiros tais que
.
Determine
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os inteiros
e
que satisfazem a equação
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
- Coeficientes:
(multiplicando ) e (multiplicando ). - Termo independente:
. - Procura-se solução em inteiros:
.
Passo 2
Verificar se existem soluções inteiras é simples usando o máximo divisor comum. Calculemos
Uma equação linear diofantina
tem solução inteira se, e somente se,
divide
. Aqui
divide
, logo existem soluções inteiras.
Passo 3
Encontrar uma solução particular. Podemos tentar pequenos valores ou usar congruência modular. Vou fazer as duas coisas de forma bem didática.
Método por tentativa rápida (observação):
- Testando
e obtemos . Logo é uma solução particular.
Método por congruência (explicação alternativa):
- Reduce a equação módulo
: . Como , temos . - O inverso de
módulo é (pois ), então . - Assim
para algum . Substituindo na equação obtém-se . Isso também leva à mesma solução particular quando : .
Passo 4
Obter a forma geral das soluções (explicação do porquê da fórmula).
- Seja
uma solução particular, isto é, . - Qualquer outra solução inteira
deve satisfazer
Subtraindo as equações:
Isso implica
O lado direito é múltiplo de
, logo o lado esquerdo também precisa ser múltiplo de
. Como
, isso só acontece se
for múltiplo de
. Portanto existe
tal que
Substituindo em
obtemos
, ou seja
, então
Portanto a forma geral das soluções é
Passo 5
Aplicando com
e
obtemos explicitamente
Vamos checar alguns valores de
para ganhar confiança:
- Para
: . Verificação: . - Para
: . Verificação: . - Para
: . Verificação: .
Esses exemplos confirmam que a fórmula gera soluções inteiras corretas e que mudando
obtemos todas as soluções (porque qualquer solução difere da particular por múltiplos de
).