Exercício 7. Resolva:
Encontre x e y inteiros tais que 2 x+9 y=5.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os inteiros x e y que satisfazem a equação
2x+9y=5.
Informações dadas:
  • Coeficientes da equação linear são 2 e 9.
  • O termo independente é 5.
  • Procuram‑se soluções em inteiros ( x,y\in\mathbb{Z}).

Passo 2

Verificar se há solução inteira possível: para uma equação linear diofântica ax+by=c é necessário que d=\gcd(a,b) divida c. Vamos calcular \gcd(2,9) usando o algoritmo de Euclides.
9=4\cdot2+1,
logo
1=9-4\cdot2.
Portanto \gcd(2,9)=1. Como 1 divide 5, existem soluções inteiras (na verdade, infinitas).

Passo 3

Escolher método prático para obter a solução geral: como \gcd(2,9)=1 podemos resolver usando congruência modular para eliminar uma variável — é um método direto e fácil sem cálculos pesados. A ideia: reduzir a equação módulo 9 ou módulo 2 para encontrar x ou y em termos de um parâmetro inteiro.

Passo 4

Resolver por congruência módulo 9. Da equação original temos
2x+9y\equiv 5 \pmod{9}.
Como 9y\equiv0\pmod{9}, sobra
2x\equiv 5 \pmod{9}.
Para resolver, precisamos do inverso multiplicativo de 2 módulo 9. Observa-se que 2\cdot5=10\equiv1\pmod{9}, logo o inverso de 2 módulo 9 é 5. Multiplicando ambos os lados por 5:
x\equiv 5\cdot5 \pmod{9},
x\equiv 25 \pmod{9},
x\equiv 7 \pmod{9}.

Passo 5

Convertendo a congruência em paramétrica: existe um inteiro t tal que
x=7+9t,\qquad t\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Substituir x=7+9t na equação original para obter y. Começando:
2x+9y=5 \quad\Rightarrow\quad 9y=5-2x.
Substituindo x:
9y=5-2(7+9t)=5-14-18t=-9-18t.
Dividindo por 9:
y=\frac{-9-18t}{9}=-1-2t.

Passo 7

Portanto a solução geral em inteiros está parametrizada por t\in\mathbb{Z}:
x=7+9t,\qquad y=-1-2t,\qquad t\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida com alguns valores de t:
  • Para t=0: x=7,\\ y=-1 e 2\cdot7+9\cdot(-1)=14-9=5.
  • Para t=1: x=16,\\ y=-3 e 2\cdot16+9\cdot(-3)=32-27=5.
  • Para t=-1: x=-2,\\ y=1 e 2\cdot(-2)+9\cdot1=-4+9=5.
    Esses exemplos confirmam que a fórmula gera soluções inteiras.

Resposta

\displaystyle x=7+9t,\\ y=-1-2t,\\ t\in\mathbb{Z}

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