Exercício 7. Resolva:
Encontre
e
inteiros tais que
.
Encontre
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os inteiros
e
que satisfazem a equação
Informações dadas:
- Coeficientes da equação linear são
e . - O termo independente é
. - Procuram‑se soluções em inteiros (
).
Passo 2
Verificar se há solução inteira possível: para uma equação linear diofântica
é necessário que
divida
. Vamos calcular
usando o algoritmo de Euclides.
logo
Portanto
. Como
divide
, existem soluções inteiras (na verdade, infinitas).
Passo 3
Escolher método prático para obter a solução geral: como
podemos resolver usando congruência modular para eliminar uma variável — é um método direto e fácil sem cálculos pesados. A ideia: reduzir a equação módulo
ou módulo
para encontrar
ou
em termos de um parâmetro inteiro.
Passo 4
Resolver por congruência módulo
. Da equação original temos
Como
, sobra
Para resolver, precisamos do inverso multiplicativo de
módulo
. Observa-se que
, logo o inverso de
módulo
é
. Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Convertendo a congruência em paramétrica: existe um inteiro
tal que
Passo 6
Substituir
na equação original para obter
. Começando:
Substituindo
:
Dividindo por
:
Passo 7
Portanto a solução geral em inteiros está parametrizada por
:
Verificação rápida com alguns valores de
:
- Para
: e . - Para
: e . - Para
: e .
Esses exemplos confirmam que a fórmula gera soluções inteiras.