Um pêndulo simples, para baixas amplitudes de oscilação, tem período dado por
T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
Fez-se várias medidas de T e L. O gráfico “T vs L” mostra um conjunto de pontos que não segue uma tendência linear. Elevando a equação ao quadrado, encontra-se uma relação linear das variáveis " \mathrm{T}^{2} vs \mathrm{L}^{\prime \prime}
Plotando o gráfico " \mathrm{T}^{2} vs \mathrm{L}^{\prime \prime} e fazendo a regressão linear, obteve-se a reta
a) Encontre a relação entre " g " e o coeficiente angular " a ".
b) Calcule g.
c) Determine a incerteza absoluta de g.
d) Determine a incerteza relativa de g.
e) Escreva o resultado final com unidades e algarismos significativos adequados.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes valores do enunciado):
Lei teórica do pêndulo (para pequenas amplitudes):
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Depois de elevar ao quadrado obteve-se a forma linear ajustada por regressão:
O enunciado pede:
(a) encontrar a relação entre g e o coeficiente angular a;
(b) calcular g;
(c) determinar a incerteza absoluta de g (isto é, \Delta g);
(d) determinar a incerteza relativa de g;
(e) escrever o resultado final com unidades e algarismos significativos adequados.
Passo 2
Transformar a lei do pêndulo para comparar com a regressão. Partindo de
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
eleva-se ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isso tem a forma \,T^{2}=A\,L com A=\dfrac{4\pi^{2}}{g}. Comparando com a regressão \,T^{2}=aL+b, conclui-se que o coeficiente angular a corresponde a A. Portanto a relação procurada é
a=\frac{4\pi^{2}}{g}.
Passo 3
Isolar g em função de a. A partir de
a=\frac{4\pi^{2}}{g},
inverte-se a expressão:
g=\frac{4\pi^{2}}{a}.
Esta é a relação entre g e o coeficiente angular a (resposta do item (a)).
Passo 4
Calcular o valor numérico de g usando a=(4{,}00)\\ \mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}.
Portanto o valor calculado (sem ainda arredondar pela incerteza) é
g\approx 9{,}8696\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Passo 5
Determinar a incerteza absoluta \Delta g por propagação de erros. Explicação didática do método:
Quando uma grandeza g depende de uma única variável medida a por g(a)=k/a (com k=4\pi^{2} constante conhecida), a incerteza absoluta em g devido à incerteza \Delta a em a é, ao primeiro ordem, dada por:
\Delta g \approx \left|\frac{dg}{da}\right|\,\Delta a.
Escolher como apresentar o resultado final com algarismos significativos adequados. Regra prática e usual:
Arredonda-se a incerteza absoluta para, normalmente, uma casa significativa (duas se o primeiro dígito for 1).
Então \Delta g\approx 0{,}49 arredonda para \Delta g=0{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredonda-se o valor de g com a mesma resolução decimal da incerteza: com \Delta g=0{,}5 devemos apresentar g com uma casa decimal, isto é g=9{,}9\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto o resultado final, com unidade e algarismos significativos apropriados, é