Exercício 4

Um pêndulo simples, para baixas amplitudes de oscilação, tem período dado por
T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
Fez-se várias medidas de T e L. O gráfico “T vs L” mostra um conjunto de pontos que não segue uma tendência linear. Elevando a equação ao quadrado, encontra-se uma relação linear das variáveis " \mathrm{T}^{2} vs \mathrm{L}^{\prime \prime}
Plotando o gráfico " \mathrm{T}^{2} vs \mathrm{L}^{\prime \prime} e fazendo a regressão linear, obteve-se a reta
T^{2}=a L+b
com
\begin{gathered} \mathrm{a}=(4,00 \pm 0,20) \mathrm{s}^{2} / \mathrm{m} \\\ \mathrm{~b}=(0,05 \pm 0,10) \mathrm{s}^{2} \end{gathered}
a) Encontre a relação entre " g " e o coeficiente angular " a ".
b) Calcule g.
c) Determine a incerteza absoluta de g.
d) Determine a incerteza relativa de g.
e) Escreva o resultado final com unidades e algarismos significativos adequados.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Lei teórica do pêndulo (para pequenas amplitudes):
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Depois de elevar ao quadrado obteve-se a forma linear ajustada por regressão:
T^{2}=aL+b,
com
a=(4{,}00\pm0{,}20)\\ \mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}, \qquad b=(0{,}05\pm0{,}10)\\ \mathrm{s}^{2}.
O enunciado pede:
(a) encontrar a relação entre g e o coeficiente angular a;
(b) calcular g;
(c) determinar a incerteza absoluta de g (isto é, \Delta g);
(d) determinar a incerteza relativa de g;
(e) escrever o resultado final com unidades e algarismos significativos adequados.

Passo 2

Transformar a lei do pêndulo para comparar com a regressão. Partindo de
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
eleva-se ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
T^{2}=(2\pi)^{2}\frac{L}{g}= \frac{4\pi^{2}}{g}\,L.
Isso tem a forma \,T^{2}=A\,L com A=\dfrac{4\pi^{2}}{g}. Comparando com a regressão \,T^{2}=aL+b, conclui-se que o coeficiente angular a corresponde a A. Portanto a relação procurada é
a=\frac{4\pi^{2}}{g}.

Passo 3

Isolar g em função de a. A partir de
a=\frac{4\pi^{2}}{g},
inverte-se a expressão:
g=\frac{4\pi^{2}}{a}.
Esta é a relação entre g e o coeficiente angular a (resposta do item (a)).

Passo 4

Calcular o valor numérico de g usando a=(4{,}00)\\ \mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}.
g=\frac{4\pi^{2}}{a}=\frac{4\pi^{2}}{4{,}00}=\pi^{2}.
Avaliação numérica aproximada:
\pi^{2}\approx 9{,}8696\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto o valor calculado (sem ainda arredondar pela incerteza) é
g\approx 9{,}8696\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Determinar a incerteza absoluta \Delta g por propagação de erros. Explicação didática do método:
  • Quando uma grandeza g depende de uma única variável medida a por g(a)=k/a (com k=4\pi^{2} constante conhecida), a incerteza absoluta em g devido à incerteza \Delta a em a é, ao primeiro ordem, dada por:
\Delta g \approx \left|\frac{dg}{da}\right|\,\Delta a.
  • Calcule a derivada:
\frac{dg}{da}=\frac{d}{da}\left(\frac{k}{a}\right)=-\frac{k}{a^{2}}.
  • Tomando o valor absoluto:
\left|\frac{dg}{da}\right|=\frac{k}{a^{2}}=\frac{4\pi^{2}}{a^{2}}.
  • Logo:
\Delta g = \frac{4\pi^{2}}{a^{2}}\,\Delta a.
Observação prática: para g=k/a vale também a forma simples
\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta a}{a},
porque \Delta g/g=(k/a^{2}\Delta a)/(k/a)=\Delta a/a. Ou seja, a incerteza relativa de g é igual à incerteza relativa de a.

Passo 6

Aplicar a fórmula numérica com \,a=4{,}00\\ \mathrm{s}^{2}/\mathrm{m} e \Delta a=0{,}20\\ \mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}.
Primeiro a incerteza absoluta:
\Delta g=\frac{4\pi^{2}}{a^{2}}\,\Delta a.
Substituindo os números:
\Delta g=\frac{4\pi^{2}}{(4{,}00)^{2}}\times 0{,}20 =\frac{4\pi^{2}}{16{,}00}\times 0{,}20.
Calcule passo a passo:
\frac{4\pi^{2}}{16{,}00}=\frac{\pi^{2}}{4}\approx\frac{9{,}8696}{4}=2{,}4674\ldots
\Delta g\approx 2{,}4674\times 0{,}20=0{,}4935\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando sensatamente neste estágio, temos
\Delta g\approx 0{,}49\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Calcular a incerteza relativa de g. Como explicado, para g=k/a vale \Delta g/g=\Delta a/a. Então
\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta a}{a}=\frac{0{,}20}{4{,}00}=0{,}05=5{,}0\%.
Confirme numericamente com os valores obtidos:
\frac{0{,}4935}{9{,}8696}\approx 0{,}05.

Passo 8

Escolher como apresentar o resultado final com algarismos significativos adequados. Regra prática e usual:
  • Arredonda-se a incerteza absoluta para, normalmente, uma casa significativa (duas se o primeiro dígito for 1).
  • Então \Delta g\approx 0{,}49 arredonda para \Delta g=0{,}5\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Arredonda-se o valor de g com a mesma resolução decimal da incerteza: com \Delta g=0{,}5 devemos apresentar g com uma casa decimal, isto é g=9{,}9\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Portanto o resultado final, com unidade e algarismos significativos apropriados, é
g=(9{,}9\pm0{,}5)\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) g=\dfrac{4\pi^{2}}{a}
(b) g\approx 9{,}8696\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) \Delta g\approx 0{,}49\\ \mathrm{m/s^{2}}
(d) \dfrac{\Delta g}{g}=0{,}05=5{,}0\%
(e) g=(9{,}9\pm0{,}5)\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados