Exercício 2
A velocidade de uma onda em uma corda de densidade linear
tensionada por uma força
é dada por:
Mediu-se a tensão
e a velocidade
da onda de maneira independente, e quer-se descobrir a densidade linear da corda.
Dados experimentais:
a) Calcule
.
b) Determine a incerteza absoluta de
.
c) Determine a incerteza relativa de
.
d) Escreva o resultado final
com unidades e algarismos significativos adequados.
b) Determine a incerteza absoluta de
c) Determine a incerteza relativa de
d) Escreva o resultado final
Passo 1
O enunciado pede que, a partir da relação entre velocidade de uma onda numa corda, tensão e densidade linear, eu calcule a densidade linear
e suas incertezas. Dados fornecidos (medidos de forma independente):
-
. -
.
As perguntas são:
a) Calcular (valor central).
b) Determinar a incerteza absoluta de ,
.
c) Determinar a incerteza relativa de (fração ou percentagem).
d) Escrever o resultado final com unidades e algarismos significativos adequados.
a) Calcular
b) Determinar a incerteza absoluta de
c) Determinar a incerteza relativa de
d) Escrever o resultado final
Passo 2
Primeiro isolar
da fórmula dada. A relação é
Elevar ao quadrado ambos os lados:
Isolando
,
Isto significa que para obter o valor central de
basta dividir a tensão medida pelo quadrado da velocidade medida.
Passo 3
Calcular numericamente o valor central de
. Primeiro compute
:
Agora
Fazendo a divisão:
(Para a prova, reconhecer que isso é essencialmente
.)
Passo 4
Agora calcular a incerteza. Como
e
são medidos independentemente, uso a propagação de incertezas para uma função
. Duas formas equivalentes: derivadas parciais ou diferenciação logarítmica. A forma relativa é muito prática aqui:
Se
, então, para incertezas pequenas e independentes,
Explicando essa fórmula de maneira intuitiva: pequenas variações relativas em
entram diretamente na mesma proporção em
; variações relativas em
entram com fator
porque
depende de
como
(um pequeno erro relativo em
leva a um erro relativo duas vezes maior em
).
Passo 5
Calcular os termos numéricos:
Agora aplicar a fórmula:
Calcule cada termo:
Somando:
Tomando raiz:
Isto é, a incerteza relativa é aproximadamente
, ou
.
Passo 6
Calcular a incerteza absoluta
:
Arredondando ligeiramente para apresentação,
(valor com várias casas guardadas).
Passo 7
Escolha de algarismos significativos e forma final. Regra prática: reporta-se a incerteza com uma ou duas cifras significativas; como a primeira casa significativa de
é 5, é aceitável usar uma casa significativa. Assim tomo
Quando se faz isso, o valor de
deve ser arredondado para a mesma ordem (mesma posição decimal), ficando
Portanto a notação final conveniente é
que também pode ser escrita em notação científica como
Resposta
a)
b) (incerteza absoluta calculada)
c) (incerteza relativa
)
d) (resultado final com algarismos significativos adequados)
b)
c)
d)