Exercício 2

A velocidade de uma onda em uma corda de densidade linear \mu tensionada por uma força F é dada por:
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}
Mediu-se a tensão F e a velocidade v da onda de maneira independente, e quer-se descobrir a densidade linear da corda.
Dados experimentais:
\begin{gathered} F=(49 \pm 2) N \\\ v=(99 \pm 5) \mathrm{m} / \mathrm{s} \end{gathered}
a) Calcule \mu.
b) Determine a incerteza absoluta de \mu.
c) Determine a incerteza relativa de \mu.
d) Escreva o resultado final \mu \pm \Delta \mu com unidades e algarismos significativos adequados.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da relação entre velocidade de uma onda numa corda, tensão e densidade linear, eu calcule a densidade linear \mu e suas incertezas. Dados fornecidos (medidos de forma independente):
  • F=(49 \pm 2)\\ \mathrm{N}.
  • v=(99 \pm 5)\\ \mathrm{m/s}.
As perguntas são:
a) Calcular \mu (valor central).
b) Determinar a incerteza absoluta de \mu, \Delta\mu.
c) Determinar a incerteza relativa de \mu (fração ou percentagem).
d) Escrever o resultado final \mu\pm\Delta\mu com unidades e algarismos significativos adequados.

Passo 2

Primeiro isolar \mu da fórmula dada. A relação é
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}.
Elevar ao quadrado ambos os lados:
v^{2}=\frac{F}{\mu}.
Isolando \mu,
\mu=\frac{F}{v^{2}}.
Isto significa que para obter o valor central de \mu basta dividir a tensão medida pelo quadrado da velocidade medida.

Passo 3

Calcular numericamente o valor central de \mu. Primeiro compute v^{2}:
v^{2}=99^{2}=9801.
Agora
\mu=\frac{F}{v^{2}}=\frac{49}{9801}.
Fazendo a divisão:
\mu\approx 0,004999489\\ \mathrm{kg/m}.
(Para a prova, reconhecer que isso é essencialmente 5{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/m}.)

Passo 4

Agora calcular a incerteza. Como F e v são medidos independentemente, uso a propagação de incertezas para uma função \mu(F,v)=F v^{-2}. Duas formas equivalentes: derivadas parciais ou diferenciação logarítmica. A forma relativa é muito prática aqui:
Se \mu=F v^{-2}, então, para incertezas pequenas e independentes,
\left(\frac{\Delta\mu}{\mu}\right)^{2}=\left(\frac{\Delta F}{F}\right)^{2}+\left(2\,\frac{\Delta v}{v}\right)^{2}.
Explicando essa fórmula de maneira intuitiva: pequenas variações relativas em F entram diretamente na mesma proporção em \mu; variações relativas em v entram com fator 2 porque \mu depende de v como v^{-2} (um pequeno erro relativo em v leva a um erro relativo duas vezes maior em \mu).

Passo 5

Calcular os termos numéricos:
\frac{\Delta F}{F}=\frac{2}{49}\approx 0,040816\quad(\text{ou }4{,}0816\%),
\frac{\Delta v}{v}=\frac{5}{99}\approx 0,050505\quad(\text{ou }5{,}0505\%).
Agora aplicar a fórmula:
\left(\frac{\Delta\mu}{\mu}\right)^{2}=(0,040816)^{2}+(2\cdot0,050505)^{2}.
Calcule cada termo:
(0,040816)^{2}\approx 0,001666,
(2\cdot0,050505)=0,101010,\quad(0,101010)^{2}\approx 0,010203.
Somando:
\left(\frac{\Delta\mu}{\mu}\right)^{2}\approx 0,001666+0,010203=0,011869.
Tomando raiz:
\frac{\Delta\mu}{\mu}\approx\sqrt{0,011869}\approx 0,10899\approx 0,109.
Isto é, a incerteza relativa é aproximadamente 0{,}109, ou 10{,}9\%.

Passo 6

Calcular a incerteza absoluta \Delta\mu:
\Delta\mu=\mu\cdot\frac{\Delta\mu}{\mu}\approx 0,004999489\cdot0,10899\approx 0,00054494\\ \mathrm{kg/m}.
Arredondando ligeiramente para apresentação, \Delta\mu\approx 0,000545\\ \mathrm{kg/m} (valor com várias casas guardadas).

Passo 7

Escolha de algarismos significativos e forma final. Regra prática: reporta-se a incerteza com uma ou duas cifras significativas; como a primeira casa significativa de \Delta\mu é 5, é aceitável usar uma casa significativa. Assim tomo
\Delta\mu\approx 0,0005\\ \mathrm{kg/m}.
Quando se faz isso, o valor de \mu deve ser arredondado para a mesma ordem (mesma posição decimal), ficando
\mu\approx 0,0050\\ \mathrm{kg/m}.
Portanto a notação final conveniente é
\mu=(0,0050\pm0,0005)\\ \mathrm{kg/m},
que também pode ser escrita em notação científica como
\mu=(5{,}0\pm0{,}5)\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/m}.

Resposta

a) \mu=\dfrac{49}{99^{2}}\\ \mathrm{kg/m}\approx 0,004999489\\ \mathrm{kg/m}
b) \Delta\mu\approx 0,000545\\ \mathrm{kg/m} (incerteza absoluta calculada)
c) \dfrac{\Delta\mu}{\mu}\approx 0,109 (incerteza relativa \approx10{,}9\%)
d) \mu=(0,0050\pm0,0005)\\ \mathrm{kg/m} (resultado final com algarismos significativos adequados)

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