Exercício 1. Este exercício pode ser útil para determinar as soluções dos problemas abaixo:
Seja dada a equação
.
a) Mostre que
é solução da equação acima se
é raiz de
.
b) Mostre que, para a equação
, se
tem apenas uma raiz
, isto é,
, então
e
são soluções do problema.
Seja dada a equação
a) Mostre que
b) Mostre que, para a equação
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes, cujo enunciado geral é
O método clássico para resolver esse tipo de equação é usar o ansatz
e obter o polinômio característico
Para raízes simples de
, temos soluções exponenciais independentes. Para raízes múltiplas, precisamos de soluções “generalizadas” como
. Nesta questão, em (a) mostramos o caso geral de
e em (b) tratamos a raiz dupla de ordem 2, exibindo duas soluções lineares independentes.
Passo 2
Para
temos a propriedade
Substituindo na equação diferencial, obtemos
Como
para todo
, a equação será satisfeita se, e somente se,
ou seja, se
for raiz do polinômio característico
.
Passo 3
No caso de segunda ordem
o polinômio característico é
Se
tem raiz dupla
, então
logo
e também
Pela parte (a),
é solução porque
.
Passo 4
Proponha agora
. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação, obtemos
Mas
e
. Logo toda a soma é zero, isto é,
satisfaz a equação.
Resposta
a) A função
é solução se, e somente se,
for raiz do polinômio característico
b) No caso de ordem 2 com raiz dupla
, duas soluções linearmente independentes são