Exercício 1. Este exercício pode ser útil para determinar as soluções dos problemas abaixo:
Seja dada a equação d^m ud x^m(x)+am-1 d^m-1 ud x^m-1(x)+ldots+a0 u(x)=0.
a) Mostre que e^lambda x é solução da equação acima se lambda é raiz de lambda^m+am-1 lambda^m-1+ldots+a0=0.
b) Mostre que, para a equação d^2 ud x^2(x)+a1 d ud x(x)+a0 u(x)=0, se lambda^2+a1 lambda+a0=0 tem apenas uma raiz lambda0, isto é, lambda^2+a1 lambda+a0=(lambda-lambda0)^2, então e^lambda0 t e t e^lambda0 t são soluções do problema.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea de ordem m com coeficientes constantes, cujo enunciado geral é
d^mudx^m(x) + am-1,d^m-1udx^m-1(x) + cdots + a1,dudx(x) + a0,u(x) = 0
O método clássico para resolver esse tipo de equação é usar o ansatz u(x)=e^lambda x e obter o polinômio característico
P(lambda)=lambda^m+am-1,lambda^m-1+cdots+a1,lambda + a0
Para raízes simples de P, temos soluções exponenciais independentes. Para raízes múltiplas, precisamos de soluções “generalizadas” como x^ke^lambda x. Nesta questão, em (a) mostramos o caso geral de e^lambda x e em (b) tratamos a raiz dupla de ordem 2, exibindo duas soluções lineares independentes.

Passo 2

Para u(x)=e^lambda x temos a propriedade
d^ndx^ne^lambda x=lambda^ne^lambda x
Substituindo na equação diferencial, obtemos
lambda^me^lambda x + am-1,lambda^m-1e^lambda x + cdots + a0,e^lambda x = l(lambda^m+am-1lambda^m-1+cdots+a0r)e^lambda x
Como e^lambda xneq0 para todo x, a equação será satisfeita se, e somente se,
lambda^m+am-1lambda^m-1+cdots+a0=0,
ou seja, se lambda for raiz do polinômio característico P(lambda)=0.

Passo 3

No caso de segunda ordem
d^2udx^2 + a1,dudx + a0,u = 0,
o polinômio característico é
P(lambda)=lambda^2+a1lambda+a0
Se P(lambda) tem raiz dupla lambda0, então
P(lambda)=(lambda-lambda0)^2,
logo lambda0^2+a1lambda0+a0=0 e também
P'(lambda0)=2lambda0+a1=0
Pela parte (a), u1(t)=e^lambda0t é solução porque P(lambda0)=0.

Passo 4

Proponha agora u2(t)=t,e^lambda0t. Calculamos as derivadas:
u2'(t)=e^lambda0t + lambda0,t,e^lambda0t, u2''(t)=2lambda0,e^lambda0t + lambda0^2,t,e^lambda0t
Substituindo na equação, obtemos
u2'' + a1u2'+a0u2 = l(2lambda0+a1r)e^lambda0t + l(lambda0^2+a1lambda0+a0r)t,e^lambda0t
Mas 2lambda0+a1=P'(lambda0)=0 e lambda0^2+a1lambda0+a0=P(lambda0)=0. Logo toda a soma é zero, isto é, u2(t) satisfaz a equação.

Resposta

a) A função e^lambda x é solução se, e somente se, lambda for raiz do polinômio característico
lambda^m+am-1lambda^m-1+cdots+a0=0
b) No caso de ordem 2 com raiz dupla lambda0, duas soluções linearmente independentes são
u1(t)=e^lambda0t e u2(t)=t,e^lambda0t

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