Exercício 4

(2,5 ponto) Considere a função varphi: R^2 R^2 dada por varphi(u, v)=(u^2-v^2, 2 u v). Seja Q o quadrado com vértices (1,1), (1,2),(2,1) e (2,2). Esboce o conjunto S:=varphi(Q), imagem do quadrado pela função Q. Calcule
integral duplaS y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado define a transformação de variáveis
varphicolonR^2toR^2 por
varphi(u,v) = (x,y) = l(u^2-v^2,;2uvr),
e o quadrado de parâmetros
Q = (u,v)mid 1<= u<=2,;1<= v<=2
Precisamos desenhar a imagem
S=varphi(Q)
e calcular
integral duplaSy^2,dx,dy
usando mudança de variáveis e o Jacobiano de varphi.

Passo 2

As fronteiras de Q são as retas u=1, u=2, v=1, v=2.
  • Para v=1 e 1<= u<=2:
    varphi(u,1)=(u^2-1,;2u), parábola voltada para a direita.
  • Para v=2 e 1<= u<=2:
    varphi(u,2)=(u^2-4,;4u), outra parábola.
  • Para u=1 e 1<= v<=2:
    varphi(1,v)=(1-v^2,;2v), parábola voltada para a esquerda.
  • Para u=2 e 1<= v<=2:
    varphi(2,v)=(4-v^2,;4v).
    Em particular, y=2uv>=2, logo S fica acima da reta y=2, e x=u^2-v^2 varia de -3 a 3. O contorno de S é um “quadrilátero curvo” formado por essas quatro parábolas.

Passo 3

Calculamos o Jacobiano de varphi:
J(u,v) =det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v =det 2u & -2v[3pt] 2v & 2u =4,(u^2+v^2) ]

Passo 4

Pela mudança de variáveis,
integral duplaSy^2,dx,dy =integral duplaQl(y(u,v)r)^2,|J(u,v)|,du,dv,
onde y(u,v)=2uv. Assim
(y(u,v))^2=4,u^2v^2, |J(u,v)|=4,(u^2+v^2),
e a integral vira
integral duplaSy^2,dx,dy =integralu=1^2integralv=1^24u^2v^2;cdot;4(u^2+v^2);dv,du =16integral1^2integral1^2u^2v^2,(u^2+v^2),dv,du

Passo 5

Expandindo e separando:
16integral1^2integral1^2l(u^4v^2 + u^2v^4r),dv,du =16l[ integral1^2u^4!l(integral1^2v^2,dvr)du +integral1^2u^2!l(integral1^2v^4,dvr)du r]
Calculamos
integral1^2v^2,dv=tfrac73,
integral1^2v^4,dv=tfrac315,
integral1^2u^4,du=tfrac315,
integral1^2u^2,du=tfrac73.
Logo
integral duplaSy^2,dx,dy =16l[tfrac73cdottfrac315+tfrac315cdottfrac73r] =16cdottfrac2cdot21715 =tfrac694415

Resposta

integral duplaSy^2,dx,dy = 694415

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