Exercício 4
(2,5 ponto) Considere a função
dada por
. Seja
o quadrado com vértices
,
e
. Esboce o conjunto
, imagem do quadrado pela função
. Calcule
Passo 1
O enunciado define a transformação de variáveis
por
e o quadrado de parâmetros
Precisamos desenhar a imagem
e calcular
usando mudança de variáveis e o Jacobiano de
.
Passo 2
As fronteiras de
são as retas
,
,
,
.
- Para
e :
, parábola voltada para a direita. - Para
e :
, outra parábola. - Para
e :
, parábola voltada para a esquerda. - Para
e :
.
Em particular,, logo fica acima da reta , e varia de a . O contorno de é um “quadrilátero curvo” formado por essas quatro parábolas.
Passo 3
Calculamos o Jacobiano de
:
Passo 4
Pela mudança de variáveis,
onde
y(u,v)=2uv . Assim
e a integral vira
Passo 5
Expandindo e separando:
Calculamos
integral1^2v^2,dv=tfrac73 ,
integral1^2v^4,dv=tfrac315 ,
integral1^2u^4,du=tfrac315 ,
integral1^2u^2,du=tfrac73 .
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