Mostre que se f: D(f) R e g: D(g) R são duas funções:
f+g=g+f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma de funções é comutativa, isto é, dadas
fcolon D(f)toR e gcolon D(g)toR, provar que
f+g = g+f. Vamos usar a definição de soma de funções e a propriedade comutativa da adição em R.

Passo 2

Por definição, o domínio de f+g é
D(f+g) = D(f)cap D(g)
e, para todo xin D(f)cap D(g), vale
(f+g)(x) = f(x) + g(x)

Passo 3

De modo análogo, o domínio de g+f é
D(g+f) = D(g)cap D(f)
e, para todo xin D(g)cap D(f), vale
(g+f)(x) = g(x) + f(x)

Passo 4

Observamos que
D(f)cap D(g) = D(g)cap D(f),
logo D(f+g)=D(g+f). Além disso, pela comutatividade da soma em R,
f(x)+g(x) = g(x)+f(x)
para todo x no domínio comum. Assim ambos os operadores atribuem o mesmo valor a cada ponto.

Resposta

Portanto, f+g = g+f.

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