(1.5pt) Determine lim x 0 x-sen xe^x-e^-x.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
limxto0x-sin xe^x - e^-x
O conteúdo aqui é limite de função na forma indeterminada tfrac00, então podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação substituindo x=0:
;x-sin x|x=0=0-0=0 e e^x-e^-x|x=0=1-1=0.
Portanto temos indeterminação tfrac00.

Passo 3

Pela Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador:
limxto0x-sin xe^x-e^-x = limxto0ddx(x-sin x)ddx(e^x-e^-x) = limxto01-cos xe^x+e^-x

Passo 4

Agora avaliamos em x=0:
o numerador é 1-cos0=1-1=0 e o denominador é e^0+e^0=1+1=2.
Logo o limite vale
02=0

Resposta

0

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