Exercício 3
(1 ponto) a) Seja
uma sequência de distribuições constantes, ou seja, para as quais existe uma sequência
tal que
Mostre que se
em
, então a sequência
converge em
. Seja
, mostre que
é a distribuição constante igual a
, ou seja, é dada por
(1,5 ponto) b) Prove que se
é tal que
para todo
, então existe
tal que
ou seja,
é igual a distribuição constante. (Dica: Sabemos que o resultado acima vale para
. Parta disto e use resultados de convolução de distribuições por funções)
Passo 1
O enunciado trata de distribuições em
e pede duas coisas:
a) Dada uma sequência de distribuições constantes
que converge em
para alguma
, provar que
converge em
e que
é também a distribuição constante com valor limite.
b) Mostrar que se
satisfaz
para todo
, então
é necessariamente uma distribuição constante, ou seja,
para algum escalar
.
Para (b) vamos usar convolução com um molificador e depois aplicar o resultado de (a).
Para (b) vamos usar convolução com um molificador e depois aplicar o resultado de (a).
Passo 2
(Prova de a))
Convergência em
significa que, para todo
,
Convergência
Mas
. Se escolhermos uma função teste
com
então
Logo
converge em
para
.
Passo 3
Ainda em (a), dado qualquer
, como
e
é fixo,
Isto mostra que
é a distribuição constante de valor
.
Passo 4
(Prova de b))
Escolha um molificador usual, com
. Defina a família de funções suaves
Escolha um molificador
Como
em
, tem-se
ou seja, cada
é uma função suave constante no espaço (gradiente nulo). Logo existe
tal que
Como convolução aproxima identidade em
, temos
em
. Portanto a sequência de distribuições constantes
converge para
. Aplicando o resultado de (a), os escalares
convergem para algum
e
Resposta
a) A sequência
converge em
para
e
é a distribuição constante
.
b) Qualquer
com
é forçosamente da forma
para algum
.