Exercício 3

(1 ponto) a) Seja (uj)j in N uma sequência de distribuições constantes, ou seja, para as quais existe uma sequência (cj)j in N subset C tal que
uj(phi)=cj integralR^n phi(x) d x, forall phi in Cc^infty(R^n)
Mostre que se lim j infty uj=u em D^prime(R^n), então a sequência (cj)j in N converge em C. Seja c:=lim j infty cj, mostre que u é a distribuição constante igual a c, ou seja, é dada por
u(phi)=c integralR^n phi(x) d x, forall phi in Cc^infty(R^n)
(1,5 ponto) b) Prove que se u in D^prime(R^n) é tal que partialxj u=0 para todo j in1, ldots, n, então existe c in R tal que
u(phi)=c integralR^n phi(x) d x, forall phi in Cc^infty(R^n)
ou seja, u é igual a distribuição constante. (Dica: Sabemos que o resultado acima vale para u in C^infty(R^n). Parta disto e use resultados de convolução de distribuições por funções)

Passo 1

O enunciado trata de distribuições em D'(R^n) e pede duas coisas:
a) Dada uma sequência de distribuições constantes
uj(phi)=cjintegralR^nphi(x),dx,
que converge em D' para alguma u, provar que cj converge em C e que u é também a distribuição constante com valor limite.
b) Mostrar que se uinD'(R^n) satisfaz partialxju=0 para todo j, então u é necessariamente uma distribuição constante, ou seja,
u(phi)=cintegralR^nphi(x),dx
para algum escalar cinR.
Para (b) vamos usar convolução com um molificador e depois aplicar o resultado de (a).

Passo 2

(Prova de a))
Convergência ujto u em D' significa que, para todo phiin Cc^infty(R^n),
uj(phi);longrightarrow;u(phi)
Mas uj(phi)=cjintegralphi. Se escolhermos uma função teste phi0 com
I0:=integralR^nphi0(x),dxneq0,
então
cj=uj(phi0)I0;longrightarrow;u(phi0)I0=:c
Logo cj converge em C para c.

Passo 3

Ainda em (a), dado qualquer phiin Cc^infty, como cjto c e integralphi é fixo,
u(phi) =limjtoinftyuj(phi) =limjtoinftycjintegralphi =cintegralR^nphi(x),dx
Isto mostra que u é a distribuição constante de valor c.

Passo 4

(Prova de b))
Escolha um molificador rhovarepsilonsubset Cc^infty(R^n) usual, com integralrhovarepsilon=1. Defina a família de funções suaves
uvarepsilon:=u*rhovarepsilon
Como partialxju=0 em D', tem-se
partialxjuvarepsilon =(partialxju)*rhovarepsilon =0,
ou seja, cada uvarepsilon é uma função suave constante no espaço (gradiente nulo). Logo existe cvarepsilon tal que
uvarepsilon(x)=cvarepsilon forall x
Como convolução aproxima identidade em D', temos uvarepsilonto u em D'. Portanto a sequência de distribuições constantes
uvarepsilon(phi) =cvarepsilonintegralphi
converge para u. Aplicando o resultado de (a), os escalares cvarepsilon convergem para algum c e
u(phi)=cintegralR^nphi(x),dx

Resposta

a) A sequência cj converge em C para
c=u(phi0)integralphi0,
e u é a distribuição constante u(phi)=cintegralphi.
b) Qualquer uinD'(R^n) com partialxju=0 é forçosamente da forma
u(phi)=cintegralR^nphi(x),dx
para algum cinR.

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