Em um triângulo retângulo A B C qualquer, sejam M, N e P os pontos médios dos lados A B, B C e C A, respectivamente. Mostre que o triângulo M N P também é um triângulo retângulo.

Passo 1

O enunciado diz que em um triângulo retângulo ABC temos M, N e P pontos médios de AB, BC e CA, respectivamente, e pede para mostrar que o triângulo MNP também é retângulo. O conteúdo principal é o teorema do segmento médio em triângulos, que afirma que a reta que une dois pontos médios é paralela ao terceiro lado.

Passo 2

Aplicando o teorema do segmento médio em cada par de pontos médios do triângulo ABC, obtemos:
MN paral<=l AC,
NP paral<=l AB,
MP paral<=l BC

Passo 3

Como ABC é retângulo, digamos com ang<= ABC = 90^circ, segue que
AB perp BC
Pela propriedade de paralelismo, de NP paral<=l AB e MP paral<=l BC concluímos
NP perp MP
Logo, no triângulo MNP, o ângulo em P é reto.

Resposta

O triângulo MNP é retângulo, pois NP perp MP.

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