Exercício 4

(2 pontos) Ache a integral integral duplaD (x+y)^7(y-x) d x d y, em que D é o paralelogramo delimitado pelas retas x+y=3, x+y=4, y-x=1 e y-x=3.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaD(x+y)^7y-x,dx,dy
sobre o paralelogramo D limitado pelas retas
x+y=3, x+y=4, y-x=1, y-x=3
O conteúdo usado será mudança de variáveis para simplificar a região e o integrando.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
u = x+y, v = y-x
Invertendo,
x = u-v2, y = u+v2
Nesse sistema, as fronteiras tornam-se retas constantes: u varia de 3 a 4 e v de 1 a 3.

Passo 3

Calculamos o Jacobiano
J = detpartial(x,y)partial(u,v) = dettfrac12 & -tfrac12[6pt]tfrac12 & tfrac12 = tfrac12
Logo dx,dy = tfrac12,du,dv.]

Passo 4

Expressando o integrando em u,v:
x+y = u, y-x = v Longrightarrow (x+y)^7y-x = u^7v
Assim a integral fica
integral duplaD(x+y)^7y-x,dx,dy = integralu=3^4!!integralv=1^3u^7v,12,dv,du

Passo 5

Integramos primeiro em v:
integralv=1^31v,dv = ln(3)-ln(1)=ln(3)
Então
12integral3^4u^7l(ln(3)r),du = ln(3)2integral3^4u^7,du

Passo 6

Agora em u:
integral3^4u^7,du = [u^88]3^4 = 4^8-3^88 = 65536-65618 = 589758
Multiplicando por tfracln(3)2
ln(3)2cdot589758 = 4^8-3^816,ln(3)

Resposta

integral duplaD(x+y)^7y-x,dx,dy = 4^8-3^816,ln(3)

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