Resolva os itens abaixo.
Determine o ponto de inflexão de y=x^2-8x.

Passo 1

O enunciado pede o ponto de inflexão da função
definida em . Para encontrar ponto de inflexão, vamos usar cálculo de derivadas: achamos a segunda derivada, igualamos a zero e verificamos troca de concavidade.

Passo 2

Derivando, obtemos a primeira derivada
dydx = 2x + 8x^2
e, em seguida, a segunda derivada
d^2ydx^2 = 2 - 16x^3

Passo 3

A condição de inflexão é
2 - 16x^3 = 0,
que leva a
x^3 = 8 Longrightarrow x = 2

Passo 4

Verificamos a troca de concavidade em x=2:
Para 0 < x < 2 temos x^3<8implies16x^3>2impliesd^2ydx^2<0 (concavidade para baixo).
Para x>2 temos x^3>8implies16x^3<2impliesd^2ydx^2>0 (concavidade para cima).
Logo, em x=2 ocorre troca de concavidade.

Passo 5

Calculamos o valor de y em x=2:
y(2) = 2^2 - 82 = 4 - 4 = 0
Portanto o ponto de inflexão é (2,0).

Resposta

(2,0)

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