Exercício 1. (6 pontos) Calcule f^prime(x) para:
f(x)=(tg x+cos x)^4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = (\tan x + \cos x)^4 $. Para resolver isso, vamos utilizar o conteúdo de Derivadas, mais especificamente a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

A função que temos é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, a função externa é elevar ao quarto poder, e a função interna é $ \tan x + \cos x $. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos começar aplicando a Regra da Cadeia. Seja $ u = \tan x + \cos x $, então $ f(x) = u^4 $. Primeiro, encontramos a derivada de $ f $ em relação a $ u $:
u = tan x + cos x

Passo 4

Agora, encontramos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Sabemos que $ \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x $ e $ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x $. Portanto:
x

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos as derivadas que encontramos:
f'(x) = dfdu cdot dudx = 4u^3 (sec^2 x - sin x)
Substituindo $ u $ de volta por $ \tan x + \cos x $:
u

Resposta

A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

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