Exercício 1. (6 pontos) Calcule
para:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = (\tan x + \cos x)^4 $. Para resolver isso, vamos utilizar o conteúdo de Derivadas, mais especificamente a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
A função que temos é uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, a função externa é elevar ao quarto poder, e a função interna é $ \tan x + \cos x $. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos começar aplicando a Regra da Cadeia. Seja $ u = \tan x + \cos x $, então $ f(x) = u^4 $. Primeiro, encontramos a derivada de $ f $ em relação a $ u $:
Passo 4
Agora, encontramos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Sabemos que $ \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x $ e $ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x $. Portanto:
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos as derivadas que encontramos:
Substituindo $ u $ de volta por $ \tan x + \cos x $:
Resposta
A derivada de $ f(x) $ é: