Considere a superficie S do paraboloide z=x^2+y^2 contida no interior do cilindro x^2+y^2 <= 4 e a função h(x, y, z)=x^2+y^2. Calcule integral duplaS h d S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a integral de superfície da função $ h(x, y, z) = x^{2} + y^{2} $ sobre a superfície $ S $ do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas e mudança para coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície $ S $. É o paraboloide dado por $ z = x^{2} + y^{2} $, mas só a parte que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $. Isso significa que $ x^{2} + y^{2} $ varia de 0 a 4, já que o raio do cilindro é 2 (porque $ \sqrt{4} = 2 $).

Passo 3

A integral de superfície que precisamos calcular é:
integral duplaS h , dS = integral duplaS (x^2 + y^2) , dS
Para facilitar, vamos usar a fórmula para integrais de superfície onde $ z = f(x, y) $:
z = f(x, y)
Aqui, $ D $ é a região no plano $ xy $ sobre a qual estamos integrando, que no nosso caso é $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $:
f(x, y) = x^2 + y^2
Então, a expressão dentro da raiz fica:
partial fpartial x = 2x e partial fpartial y = 2y

Passo 5

Substituindo tudo na integral de superfície:
integral duplaS (x^2 + y^2) raiz1 + 4(x^2 + y^2) , dx , dy
Para simplificar, vamos trocar para coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. Nessa mudança, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ e o elemento de área $ dx , dy = r , dr , d\theta $.

Passo 6

Expressando a integral em coordenadas polares:
integral0^2pi integral0^2 r^2 raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 r^3 raiz1 + 4r^2 , dr , dtheta
Aqui, os limites de $ r $ vão de 0 a 2 (já que $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $) e $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em $ r $:
r
Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo. Seja $ u = 1 + 4r^{2} $, então $ du = 8r , dr $ ou $ r , dr = \frac{du}{8} $.
Precisamos ajustar a integral para essa substituição:
integral0^2 r^3 raiz1 + 4r^2 , dr
Mas $ r^{2} = \frac{u - 1}{4} $, então $ r^{3} = r \cdot r^{2} = r \cdot \frac{u - 1}{4} $. Substituindo tudo:
u = 1 + 4r^2

Passo 8

Agora, expandindo a expressão dentro da integral:
132 integral ( u^3/2 - u^1/2 ) du = 132 ( integral u^3/2 du - integral u^1/2 du )
Integrando termo a termo:
132 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C
Desconsiderando a constante de integração porque estamos calculando uma integral definida:
132 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) g|u=1^u=17
Aqui, quando $ r = 0 $, $ u = 1 $, e quando $ r = 2 $, $ u = 1 + 4(4) = 17 $.

Passo 9

Calculando os valores na integral definida:
132 [ 25 (17)^5/2 - 23 (17)^3/2 - ( 25 (1)^5/2 - 23 (1)^3/2 ) ]
Simplificando:
132 [ 25 cdot 17^5/2 - 23 cdot 17^3/2 - ( 25 - 23 ) ]
Calculando os valores numéricos:
17^1/2 = raiz17 approx 4.1231
17^3/2 = 17 cdot raiz17 approx 70.092
17^5/2 = 17^2 cdot raiz17 = 289 cdot 4.1231 approx 1191.47
Substituindo:
132 [ 25 cdot 1191.47 - 23 cdot 70.092 - ( 25 - 23 ) ]
= 132 [ 476.588 - 46.728 - (-0.1333) ]
= 132 [ 476.588 - 46.728 + 0.1333 ]
= 132 times 429 approx 13.406

Resposta

A integral de superfície $ \iint_{S} h , dS $ vale aproximadamente 13,406.

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