Considere a superficie
do paraboloide
contida no interior do cilindro
e a função
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a integral de superfície da função $ h(x, y, z) = x^{2} + y^{2} $ sobre a superfície $ S $ do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas e mudança para coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície $ S $. É o paraboloide dado por $ z = x^{2} + y^{2} $, mas só a parte que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $. Isso significa que $ x^{2} + y^{2} $ varia de 0 a 4, já que o raio do cilindro é 2 (porque $ \sqrt{4} = 2 $).
Passo 3
A integral de superfície que precisamos calcular é:
Para facilitar, vamos usar a fórmula para integrais de superfície onde $ z = f(x, y) $:
Aqui, $ D $ é a região no plano $ xy $ sobre a qual estamos integrando, que no nosso caso é $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} $:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 5
Substituindo tudo na integral de superfície:
Para simplificar, vamos trocar para coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. Nessa mudança, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $ e o elemento de área $ dx , dy = r , dr , d\theta $.
Passo 6
Expressando a integral em coordenadas polares:
Aqui, os limites de $ r $ vão de 0 a 2 (já que $ x^{2} + y^{2} \leq 4 $) e $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em $ r $:
Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo. Seja $ u = 1 + 4r^{2} $, então $ du = 8r , dr $ ou $ r , dr = \frac{du}{8} $.
Precisamos ajustar a integral para essa substituição:
Mas $ r^{2} = \frac{u - 1}{4} $, então $ r^{3} = r \cdot r^{2} = r \cdot \frac{u - 1}{4} $. Substituindo tudo:
Passo 8
Agora, expandindo a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Desconsiderando a constante de integração porque estamos calculando uma integral definida:
Aqui, quando $ r = 0 $, $ u = 1 $, e quando $ r = 2 $, $ u = 1 + 4(4) = 17 $.
Passo 9
Calculando os valores na integral definida:
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Resposta
A integral de superfície $ \iint_{S} h , dS $ vale aproximadamente 13,406.