Exercício 4 (2,5 pontos) Calcule as integrais indefinidas utilizando integração por partes:
integral(-4 x^2 e^x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral(-4x^2e^x),dx usando o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, fatoramos a constante fora da integral: integral(-4x^2e^x),dx = -4integral x^2e^x,dx.

Passo 3

Para integral x^2e^x,dx, aplicamos integração por partes tomando u = x^2 e dv = e^x,dx. Assim, du = 2x,dx e v = e^x. Temos integral x^2e^x,dx = x^2e^x - integral 2x e^x,dx.

Passo 4

Para integral 2x e^x,dx = 2integral x e^x,dx, aplicamos partes de novo com u = x, dv = e^x,dx, obtendo du = dx, v = e^x. Logo, integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = x e^x - e^x. Portanto 2integral x e^x,dx = 2(x e^x - e^x).

Passo 5

Substituindo de volta em integral x^2e^x,dx resulta x^2e^x - 2(x e^x - e^x) = x^2e^x - 2x e^x + 2e^x. Voltando à integral original: -4integral x^2e^x,dx = -4[x^2e^x - 2x e^x + 2e^x] = -4x^2e^x +8x e^x -8e^x.

Resposta

-4x2ex + 8x e^x - 8e^x + C

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