Exercício 4 (2,5 pontos) Calcule as integrais indefinidas utilizando integração por partes:
integral(4 x cos (x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 4xcos(x),dx usando o método de integração por partes. O conteúdo do curso é Integração por Partes, cuja fórmula é integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos precisar escolher funções u e dv adequadas.

Passo 2

Escolhemos u = 4x para simplificar sua derivada e dv = cos(x),dx para facilitar a integração. Assim, derivando u e integrando dv temos:
du = 4,dx
v = integral cos(x),dx = sin(x)
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral 4xcos(x),dx = u,v - integral v,du = 4xsin(x) - integral sin(x)cdot 4,dx
Isso fica:

Passo 3

Calculamos a integral remanescente e simplificamos:
integral sin(x)cdot 4,dx = 4integral sin(x),dx = 4(-cos(x)) = -4cos(x)
Substituindo de volta:
Somando a constante de integração e reunindo termos temos:
O resultado final é obtido somando a constante C.

Resposta

4xsin(x) + 4cos(x) + C

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