Exercício 3 (2,5 pontos) Calcule as integrais indefinidas utilizando substituição:
integral 4 x(x^2-4)^6 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 4x,(x^2-4)^6,dx usando substituição. O conteúdo é integração por substituição, e vamos precisar identificar uma expressão interna cuja derivada aparece no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^2 - 4. Calculando a diferencial, temos du = 2x,dx, ou seja, x,dx = dfracdu2. Assim, 4x,dx = 2,du. Substituindo na integral original, obtemos uma integral em u:
integral 4x,(x^2-4)^6,dx = integral 2,u^6,du

Passo 3

Agora basta integrar em u. Temos
integral 2,u^6,du = 2cdot u^77 + C = 27u^7 + C
Voltando à variável original x, fica
27(x^2 - 4)^7 + C

Resposta

27(x^2 - 4)^7 + C

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