Exercício 1. (2 pontos) Calcule integral0^3 integraly^2^9 y cos (x^2) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^3integraly^2^9ycosl(x^2r),dx,dy
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para inverter a ordem de integração e depois fazer uma substituição para resolver a integral em x.

Passo 2

Identificamos a região de integração D no plano (x,y):
D=l(x,y)mid 0<= y<=3,;y^2<= x<=9r
Para inverter a ordem, expressamos D como
0<= x<=9, 0<= y<=raizx

Passo 3

Aplicando Fubini com a ordem invertida, obtemos
integral0^3!!integraly^2^9ycosl(x^2r),dx,dy =integral0^9!!integral0^raizxycosl(x^2r),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^raizxy,dy =[tfracy^22]0^raizx =x2
Logo a integral fica
integral0^9x2cosl(x^2r),dx =12integral0^9xcosl(x^2r),dx

Passo 5

Para resolver integral0^9xcosl(x^2r),dx fazemos a substituição
u = x^2, du = 2x,dxLongrightarrow x,dx=du2
Os limites em u vão de u(0)=0 até u(9)=81. Assim,
integral0^9xcosl(x^2r),dx =integral0^81cos(u),du2 =12integral0^81cos(u),du =12l[sin(u)r]0^81 =sin(81)2

Passo 6

Voltando ao fator tfrac12 que estava fora da integral em x, temos
12integral0^9xcosl(x^2r),dx =12cdotsin(81)2 =14sin(81)

Resposta

14sin(81)

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