O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo é séries alternadas e teste de Leibniz, além de checar convergência absoluta.
Passo 2
Defina . Para temos e é crescente em . Logo, à medida que aumenta, diminui e, consequentemente, também diminui. Além disso,
Passo 3
Pelas condições do teste de Leibniz (série alternada de termos positivos monotonicamente decrescentes a partir de e que tendem a zero), concluímos que
converge.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, considere
Como sin(x)sim x quando xto0, para n grande temos sin(tfracpin)approx tfracpin e a soma comporta-se como a série harmônica, que diverge. Portanto a convergência não é absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, mas diverge em valor absoluto.