Determine se a série é convergente ou divergente.
∑n=1^∞(-1)^n sen(πn)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^nsin!l(tfracpinr)
O conteúdo é séries alternadas e teste de Leibniz, além de checar convergência absoluta.

Passo 2

Defina bn = sin!l(tfracpinr). Para n>=2 temos tfracpinin(0,tfracpi2] e sin(x) é crescente em [0,tfracpi2]. Logo, à medida que n aumenta, tfracpin diminui e, consequentemente, bn também diminui. Além disso,
limntoinftybn =limntoinftysin!l(tfracpinr) =sin(0) =0

Passo 3

Pelas condições do teste de Leibniz (série alternada de termos positivos bn monotonicamente decrescentes a partir de n=2 e que tendem a zero), concluímos que
sumn=1^infty(-1)^nbn
converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, considere
sumn=1^inftyl|(-1)^nsin!l(tfracpinr)r| =sumn=1^inftysin!l(tfracpinr)
Como sin(x)sim x quando xto0, para n grande temos sin(tfracpin)approx tfracpin e a soma comporta-se como a série harmônica, que diverge. Portanto a convergência não é absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, mas diverge em valor absoluto.

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