Exercicio 2 ( 1,5 pontos) Calcule a média e a variâneía de uma varidvel aleatória Y=3 X+2, sendo que X sim B(20 ; 0,3),

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=20 e p=0,3, ou seja, Xsim B(20,0,3), e define a variável aleatória transformada Y=3X+2. Para resolver, vamos usar as fórmulas de esperança e variância de X e as propriedades de transformações lineares:
  • Se X tem esperança E(X) e variância Var(X), então para Y=aX+b vale
    E(Y)=a,E(X)+b
    e
    Var(Y)=a^2,Var(X).

Passo 2

Calculamos a esperança de X sabendo que para Xsim B(n,p)
E(X)=n,p
Aqui,
E(X)=20times0,3=6

Passo 3

Calculamos a variância de X sabendo que para Xsim B(n,p)
Var(X)=n,p,(1-p)
Logo,
Var(X)=20times0,3times0,7=4,2

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas de transformação linear Y=3X+2:
E(Y)=3,E(X)+2=3times6+2=20,
Var(Y)=3^2,Var(X)=9times4,2=37,8

Resposta

Esperança de Y: E(Y)=20
Variância de Y: Var(Y)=37,8

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