Exercício 1. (4,0 Pontos) Calcule as seguintes integrais.
\int_{0}^{\pi / 4}(1+\operatorname{tg} x)^{3} \operatorname{sec} ^{2} x d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} (1+\tan x)^3 \operatorname{sec}^2 x \,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição, pois vemos \tan x e \operatorname{sec}^2 x\,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + \tan x
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du = \operatorname{sec}^2 x \,dx.
Quando x=0, \tan 0=0 então u=1; quando x=\pi/4, \tan(\pi/4)=1 então u=2.

Passo 3

A integral em termos de u fica
\int_{u=1}^{u=2} u^3 \,du.
Agora integramos u^3, cuja antiderivada é u^4/4.

Passo 4

Avaliaremos
\left[\frac{u^4}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{4}

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