Questão 4

-(2,0 pontos) Encontre a solução geral para o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem :
\left\{\begin{array}{l} \frac{d x_{1}}{d t}=-3 x_{1}+x_{2} \\\ \frac{d x_{2}}{d t}=2 x_{1}-4 x_{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs
\begin{cases} \dfrac{d x_{1}}{d t}=-3 x_{1}+x_{2},\\[6pt] \dfrac{d x_{2}}{d t}=2 x_{1}-4 x_{2}. \end{cases}
O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes, usando valores próprios e vetores próprios da matriz do sistema.]

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, definimos
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[3pt]x_{2}(t)\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}-3 & 1\\[3pt]2 & -4\end{pmatrix},
de modo que o sistema fica
\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\,\mathbf{x}.]

Passo 3

Para encontrar a solução geral, calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 1\\[3pt]2 & -4-\lambda\end{pmatrix} =(\!-3-\lambda)(\!-4-\lambda)-2 =\lambda^{2}+7\lambda+10.
Resolvendo \lambda^{2}+7\lambda+10=0 obtemos
\lambda_{1}=-2,\quad \lambda_{2}=-5.]

Passo 4

Agora achamos um vetor próprio para cada \lambda.
Para \lambda_{1}=-2, resolvemos
(A+2I)\mathbf{v}=0 \implies \begin{pmatrix}-1 & 1\\[3pt]2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\[3pt]v_{2}\end{pmatrix}=0
que dá v_{2}=v_{1}. Escolhemos \mathbf{v}^{(1)}=(1,1)^{T}.
Para \lambda_{2}=-5, resolvemos
(A+5I)\mathbf{v}=0 \implies \begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\[3pt]v_{2}\end{pmatrix}=0
que dá 2v_{1}+v_{2}=0, ou seja v_{2}=-2v_{1}. Escolhemos \mathbf{v}^{(2)}=(1,-2)^{T}.]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
\mathbf{x}(t) =C_{1}e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix} +C_{2}e^{-5t}\begin{pmatrix}1\\[3pt]-2\end{pmatrix},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

\boxed{ \mathbf{x}(t) =C_{1}e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix} +C_{2}e^{-5t}\begin{pmatrix}1\\[3pt]-2\end{pmatrix}. }]

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