Questão 10 (4.0) Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintotas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede que a gente classifique a curva e, quando possível, ache a sua equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, as retas diretrizes, as assintotas, a excentricidade e os pontos de interseção com os eixos. Vamos usar completar quadrados para reescrever em forma canônica de cônica e daí extrair todas essas informações.
Passo 2
Agrupando termos em
e
e completando quadrados:
Dentro dos parênteses:
x: ,
y:
Substituindo:
x:
y:
Substituindo:
Passo 3
Passando o
para o outro lado e trocando o sinal geral:
Dividindo por
:
Como a parcela positiva é a de
, temos hipérbole de eixo transverso vertical.
O centro é
O centro é
Da forma canônica
, identificamos
Passo 4
Calculemos
e a excentricidade:
Os vértices, a distância
acima e abaixo do centro, são
Os focos, a distância
do centro, são
Passo 5
As assíntotas de uma hipérbole vertical vêm de
Passo 6
As retas diretrizes são horizontais:
Logo
Passo 7
Pontos de interseção com os eixos:
– Eixo (
):
– Eixo
sem solução real.
– Eixo (
):
– Eixo
ou seja os pontos
.
Resposta
Classificação: hipérbole de eixo transverso vertical.
Equação reduzida:
Equação reduzida:
Centro:
.
Vértices: e
.
Focos: e
.
Excentricidade: .
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas:
Retas diretrizes:
Interseção com eixos:
– Eixo : nenhuma.
– Eixo :
.
– Eixo
– Eixo