Questão 10 (4.0) Em cada um dos itens, classifique a cônica e determine quando possível a sua equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, reta diretriz, assintotas, excentricidade, ponto de interseção. Esboce o gráfico.
16 x^{2}-9 y^{2}-64 x-18 y+199=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
16x^{2}-9y^{2}-64x-18y+199=0
e pede que a gente classifique a curva e, quando possível, ache a sua equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, as retas diretrizes, as assintotas, a excentricidade e os pontos de interseção com os eixos. Vamos usar completar quadrados para reescrever em forma canônica de cônica e daí extrair todas essas informações.

Passo 2

Agrupando termos em x e y e completando quadrados:
16\bigl(x^{2}-4x\bigr)-9\bigl(y^{2}+2y\bigr)+199=0.
Dentro dos parênteses:
x: \;x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4,
y: \;y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1.
Substituindo:
16\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)\,-9\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)+199=0
16(x-2)^{2}-64 \;-\;9(y+1)^{2}+9 \;+\;199=0
16(x-2)^{2}-9(y+1)^{2}+144=0.

Passo 3

Passando o 144 para o outro lado e trocando o sinal geral:
-16(x-2)^{2}+9(y+1)^{2}=144\quad\Longrightarrow\quad 9(y+1)^{2}-16(x-2)^{2}=144.
Dividindo por 144:
\frac{(y+1)^{2}}{16}\;-\;\frac{(x-2)^{2}}{9}=1.
Como a parcela positiva é a de (y+1)^{2}, temos hipérbole de eixo transverso vertical.
O centro é
(h,k)=(2,-1).
Da forma canônica \displaystyle\frac{(y+1)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-2)^{2}}{b^{2}}=1, identificamos
a^{2}=16,\quad b^{2}=9,\quad a=4,\quad b=3.

Passo 4

Calculemos c e a excentricidade:
c^{2}=a^{2}+b^{2}=16+9=25,\quad c=5,\quad e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}.
Os vértices, a distância a=4 acima e abaixo do centro, são
(2,\,-1+4)=(2,3), \quad (2,\,-1-4)=(2,-5).
Os focos, a distância c=5 do centro, são
(2,\,-1+5)=(2,4), \quad (2,\,-1-5)=(2,-6).

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole vertical vêm de
y+1=\pm\frac{a}{b}(x-2) \quad\Longrightarrow\quad y+1=\pm\frac{4}{3}(x-2).

Passo 6

As retas diretrizes são horizontais:
y+1=\pm\frac{a}{e} \;=\;\pm\frac{4}{5/4} \;=\;\pm\frac{16}{5}.
Logo
y=-1+\frac{16}{5}=\frac{11}{5}, \quad y=-1-\frac{16}{5}=-\frac{21}{5}.

Passo 7

Pontos de interseção com os eixos:
– Eixo x ( y=0):
\frac{(0+1)^{2}}{16}-\frac{(x-2)^{2}}{9}=1 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{16}-\frac{(x-2)^{2}}{9}=1 \;\Longrightarrow\; \frac{(x-2)^{2}}{9}=-\frac{15}{16}
sem solução real.
– Eixo y ( x=0):
\frac{(y+1)^{2}}{16}-\frac{4}{9}=1 \;\Longrightarrow\; \frac{(y+1)^{2}}{16}=\frac{13}{9} \;\Longrightarrow\; y+1=\pm\frac{4\sqrt{13}}{3}
\Longrightarrow \;y=-1\pm\frac{4\sqrt{13}}{3},
ou seja os pontos
\bigl(0,-1\pm\frac{4\sqrt{13}}{3}\bigr).

Resposta

Classificação: hipérbole de eixo transverso vertical.
Equação reduzida:
\frac{(y+1)^{2}}{16}-\frac{(x-2)^{2}}{9}=1.
Centro: (2,-1).
Vértices: (2,3) e (2,-5).
Focos: (2,4) e (2,-6).
Excentricidade: e=5/4.
Assíntotas:
y+1=\frac{4}{3}(x-2), \quad y+1=-\frac{4}{3}(x-2).
Retas diretrizes:
y=\frac{11}{5}, \quad y=-\frac{21}{5}.
Interseção com eixos:
– Eixo x: nenhuma.
– Eixo y: \bigl(0,-1\pm\frac{4\sqrt{13}}{3}\bigr).

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