Questão 3. Resolva as equações diferenciais abaixo:
\left(2 x^{2}\right) y^{\prime \prime}+(3 x) y^{\prime}-y=x^{4}, sendo y_{1}=\frac{1}{x} uma solução da EDO homogênea associada.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2x^{2}y'' + 3x\,y' - y = x^{4}
e informa que \displaystyle y_{1} = \frac1x é solução da equação homogênea associada. Trata-se de uma equação de Euler–Cauchy, cujo caso homogêneo se resolve via tentativa \,y = x^{m}.

Passo 2

Para achar as soluções do homogêneo, substituímos y=x^{m} em
2x^{2}y'' + 3x\,y' - y = 0.
Temos
y' = m\,x^{m-1}, \quad y'' = m(m-1)\,x^{m-2},
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2x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] + 3x\bigl[mx^{m-1}\bigr] - x^{m} = 0 \;\Longrightarrow\; 2m(m-1) + 3m -1 = 0.
Resolvendo
2m^{2} -2m +3m -1 = 2m^{2} + m -1 = 0 \;\Longrightarrow\; m = \frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1\pm3}{4},
portanto
m_{1} = -1, \quad m_{2} = \tfrac12.
Isso confirma y_{1}=x^{-1} e dá a segunda solução
y_{2} = x^{1/2}.

Passo 3

Para uma solução particular da não-homogênea, usamos tentativa do tipo \,y_{p}=A\,x^{4}, pois o termo forçante é x^{4} e 4 não é raiz do polinômio característico. Calculamos
y_{p}' = 4A\,x^{3}, \quad y_{p}'' = 12A\,x^{2}
e substituímos em
2x^{2}y_{p}'' + 3x\,y_{p}' - y_{p} = x^{4}.
Fica
2x^{2}(12A\,x^{2}) + 3x(4A\,x^{3}) - A\,x^{4} = \bigl(24A +12A -A\bigr)x^{4} = 35A\,x^{4} = x^{4}.
Logo 35A=1, ou seja A = \tfrac1{35}, e
y_{p} = \frac{1}{35}\,x^{4}.

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_{1}\,x^{-1} + C_{2}\,x^{1/2} + \frac{1}{35}\,x^{4},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,\frac1x \;+\; C_{2}\,\sqrt{x} \;+\; \frac{1}{35}\,x^{4}.

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