Questão 3. Resolva as equações diferenciais abaixo:
, sendo
uma solução da EDO homogênea associada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e informa que
é solução da equação homogênea associada. Trata-se de uma equação de Euler–Cauchy, cujo caso homogêneo se resolve via tentativa
.
Passo 2
Para achar as soluções do homogêneo, substituímos
em
Temos
logo
Resolvendo
portanto
Isso confirma
e dá a segunda solução
Passo 3
Para uma solução particular da não-homogênea, usamos tentativa do tipo
, pois o termo forçante é
e
não é raiz do polinômio característico. Calculamos
e substituímos em
Fica
Logo
, ou seja
, e
Passo 4
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias.