Calcule as derivadas laterais nos possíveis pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico.
(e) f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-x^{2}, \text { se } x<-2 \\\\ -2, \text { se }|x| \leq 2 \\\\ 2 x-6, \text { se } x>2\end{array}\right.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A função é dada por partes:
    f(x)=\begin{cases} 2-x^{2}, & \text{se } x<-2,\\[4pt] -2, & \text{se } |x|\leq 2,\\[4pt] 2x-6, & \text{se } x>2. \end{cases}
  • O enunciado pede:
    1. Calcular as derivadas laterais nos pontos possíveis onde a função não é derivável.
    2. Esboçar o gráfico da função.
  • Informação importante extraída do enunciado (pontos que merecem atenção): as junções entre as peças ocorrem em x=-2 e em x=2. Esses são os pontos candidatos a não ser diferenciáveis — ou seja, é aí que vamos calcular as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita).]

Passo 2

Relembrando a definição de derivada lateral (a ferramenta que vamos usar):
  • A derivada pela direita de f em a é f'_+(a)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
  • A derivada pela esquerda de f em a é f'_-(a)=\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Se f'_-(a) e f'_+(a) existem e são iguais, então f é derivável em a. Se forem diferentes, f não é derivável em a.
Além disso, quando estamos em pontos interiores de uma peça simples (polinômio, constante, reta), podemos usar as regras básicas de derivação:
  • \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x,
  • \dfrac{d}{dx}(\text{constante})=0,
  • \dfrac{d}{dx}(ax+b)=a.
    Vou usar essas regras para obter as derivadas nas partes internas e usar a definição de limite para as derivadas laterais exatamente em x=-2 e x=2.

Passo 3

Derivada em cada região (pontos interiores às peças).
  • Para x<-2: f(x)=2-x^{2}. Aplicando a regra do polinômio,
    f'(x)=-2x \quad\text{para } x<-2.
    (Explicação curta: a derivada de -x^{2} é -2x; a constante 2 some.)
  • Para -2<x<2 (parte central): f(x)=-2 é constante, logo
    f'(x)=0 \quad\text{para } -2<x<2.
  • Para x>2: f(x)=2x-6 é reta de coeficiente angular 2, logo
    f'(x)=2 \quad\text{para } x>2.
Essas expressões nos dizem as inclinações nas três regiões internas. Agora vamos estudar as derivadas laterais exatamente em x=-2 e x=2.

Passo 4

Verificar continuidade em x=-2 e x=2 (isso é útil antes de falar de derivada).
  • Em x=-2:
    \lim_{x\to -2^-} f(x)=\lim_{x\to -2^-}(2-x^{2})=2-(-2)^{2}=2-4=-2.
    Para a peça central |x|\leq2 temos f(-2)=-2. E
    \lim_{x\to -2^+} f(x)= -2
    porque à direita de -2 a função é constante -2. Portanto os três valores coincidem: a função é contínua em x=-2.
  • Em x=2:
    \lim_{x\to 2^-} f(x)= -2 \quad(\text{peça central}),ç
f(2)=-2,
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+}(2x-6)=2\cdot 2-6=-2.
Logo a função também é contínua em x=2.
Conclusão: f é contínua em ambos os pontos, mas continuidade não garante derivabilidade — precisamos checar as derivadas laterais.

Passo 5

Cálculo das derivadas laterais em x=-2.
  • Derivada pela esquerda em -2 (usar f(x)=2-x^{2} quando x<-2). Pela definição:
    f'_-\!(-2)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}.
    Para h próximo de 0 e negativo temos -2+h< -2, então
    f(-2+h)=2-( -2+h)^{2}.
    Calcule o quociente:
    f(-2+h)-f(-2)=\bigl(2-( -2+h)^{2}\bigr)-(-2).
    Expandindo ( -2+h)^{2}=4-4h+h^{2}, obtemos
    2-(4-4h+h^{2})+2 = -2 +4h -h^{2}+2 = 4h - h^{2}.
    Dividindo por h:
    \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{4h-h^{2}}{h}=4-h.
    Fazendo h\to0^{-} vem
    f'_-\!(-2)=\lim_{h\to0^-}(4-h)=4.
  • Derivada pela direita em -2 (usar a peça central f=-2 para -2\le x\le2):
    f'_+\!(-2)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}.
    Para h>0 pequeno tem f(-2+h)=-2 e f(-2)=-2, então o numerador é 0 e
    \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=0 \quad\text{para } h>0,
    portanto
    f'_+\!(-2)=0.
Resultado em -2: f'_-\!(-2)=4 e f'_+\!(-2)=0. Como as duas laterais são diferentes, f não é derivável em x=-2.

Passo 6

Cálculo das derivadas laterais em x=2.
  • Derivada pela esquerda em 2 (peça central f=-2 para -2\le x\le2):
    f'_-\!(2)=\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
    Para h<0 pequeno temos 2+h\in(-2,2), então f(2+h)=-2 e f(2)=-2, assim o numerador é 0 e
    f'_-\!(2)=0.
  • Derivada pela direita em 2 (usar f(x)=2x-6 para x>2):
    f'_+\!(2)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
    Para h>0 pequeno,
    f(2+h)=2(2+h)-6=4+2h-6=-2+2h,
    e f(2)=-2. Então o numerador é 2h e
    \frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{2h}{h}=2.
    Fazendo h\to0^{+} obtemos
    f'_+\!(2)=2.
Resultado em 2: f'_-\!(2)=0 e f'_+\!(2)=2. Como as duas laterais são diferentes, f não é derivável em x=2.

Passo 7

Interpretação geométrica e esboço do gráfico (como desenhar sem calculadora, passo a passo):
  • Para x<-2: a parte da função é a parábola y=2-x^{2} (concavidade para baixo). Mas só usamos a ramificação à esquerda de x=-2; essa ramificação atinge o ponto (-2,-2) (verificado nos cálculos).
  • Para -2\le x\le2: a função é a linha horizontal y=-2 (segmento horizontal entre (-2,-2) e (2,-2), incluíndo esses pontos).
  • Para x>2: a função é a reta y=2x-6 de coeficiente angular 2. Essa reta passa por (2,-2) (confirmando a continuidade) e sobe com inclinação 2 para a direita.
Portanto o gráfico é contínuo em todos os pontos, mas com duas “quinas” (cantos) em (-2,-2) e (2,-2) porque as inclinações vindas da esquerda e da direita nesses pontos são diferentes (as derivadas laterais diferentes). No esboço, desenhe a parábola à esquerda conectando suavemente ao ponto (-2,-2), um segmento horizontal de -2 a 2 e a reta inclinada subindo para a direita a partir de (2,-2).

Resposta

f'_-\!(-2)=4,\quad f'_+\!(-2)=0
f'_-\!(2)=0,\quad f'_+\!(2)=2

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