Exercício 3 (2 pontos) Calcule o volume do sólido
S=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}-2 x \leq 0 \text { e } 0 \leq z \leq \sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}\right\} .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido
S=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}-2x\le 0 \text{ e } 0\le z\le \sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}\}.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • A condição no plano xy é x^{2}+y^{2}-2x\le 0.
  • Para cada ponto (x,y) que satisfaz a condição acima, o eixo z varia de 0 até z=\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}.
    O que precisamos calcular: o volume do sólido S, isto é, a integral tripla do elemento de volume sobre a região S.

Passo 2

Primeiro identificamos a projeção D da região no plano xy. A desigualdade
x^{2}+y^{2}-2x\le 0
pode ser completada em quadrado:
x^{2}-2x+y^{2}\le 0\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}\le 1.
Logo, D é o disco de raio 1 centrado em (1,0):
D=\{(x,y): (x-1)^{2}+y^{2}\le 1\}.
Para cada (x,y)\in D temos 0\le z\le \sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}. Portanto o volume pode ser escrito como integral dupla
V=\iint_{D}\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}\,dA,
pois a integral em z de 0 a \sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}} simplesmente produz esse fator.

Passo 3

Para facilitar a integral, vamos fazer uma mudança de origem que torne a raiz mais simples. Definimos novas variáveis
X=x-1,\qquad Y=y+1.
Explicando: X e Y são as coordenadas em um sistema cujo origem é o ponto (1,-1) do sistema original. Em termos de X,Y:
  • A função dentro da raiz fica
\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}=\sqrt{X^{2}+Y^{2}}.
  • A projeção D (lembrar: (x-1)^{2}+y^{2}\le1) em X,Y fica
X^{2}+(Y-1)^{2}\le 1.
Desenvolvendo:
X^{2}+Y^{2}-2Y+1\le 1\quad\Longrightarrow\quad X^{2}+Y^{2}\le 2Y.

Passo 4

Agora usamos coordenadas polares ( \rho,\varphi ) no plano X,Y:
X=\rho\cos\varphi,\qquad Y=\rho\sin\varphi,
com \rho\ge 0 e \varphi o ângulo. Substituindo na desigualdade X^{2}+Y^{2}\le 2Y obtemos
\rho^{2}\le 2\rho\sin\varphi.
Como \rho\ge 0, isso é equivalente a
\rho\le 2\sin\varphi.
Além disso, para que a extremidade \rho=2\sin\varphi seja não negativa precisamos de \sin\varphi\ge 0, isto é \varphi\in[0,\pi]. Portanto a região projetada em coordenadas polares (\rho,\varphi) é
D'=\{(\rho,\varphi): 0\le \varphi\le \pi,\; 0\le \rho\le 2\sin\varphi\}.
Observação importante: a transformação é apenas um deslocamento de origem seguido de polares; a área elementar em X,Y vale dA=dX\,dY=\rho\,d\rho\,d\varphi.

Passo 5

Em termos de (\rho,\varphi) a integranda fica simples. Primeiro, para cada (X,Y) o limite superior em z é \sqrt{X^{2}+Y^{2}}=\rho. Integrando em z de 0 a \rho dá fator \rho. A integral dupla sobre D em x,y virou integral sobre D' em \rho,\varphi; o elemento de área traz outro fator \rho. Assim o volume é
V=\iint_{D}\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}\,dA =\iint_{D'} \rho\;(\rho\,d\rho\,d\varphi) =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\varphi} \rho^{2}\,d\rho\,d\varphi.
Expliquei: um \rho vem do limite em z (altura), outro \rho vem do jacobiano das polares.

Passo 6

Calculamos a integral iterada. Primeiro a integral em \rho:
\int_{0}^{2\sin\varphi}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{2\sin\varphi}=\frac{(2\sin\varphi)^{3}}{3}=\frac{8}{3}\sin^{3}\varphi.
Logo
V=\int_{0}^{\pi}\frac{8}{3}\sin^{3}\varphi\,d\varphi=\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi.

Passo 7

Agora calculamos \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi. Usamos a identidade \sin^{3}\varphi=\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi) e substituímos u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 tem u=1 e quando \varphi=\pi tem u=-1. Então
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi=\int_{0}^{\pi}\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi)\,d\varphi =\int_{1}^{-1}(1-u^{2})(-du)=\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du.
Calculando:
\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du=\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\Big(1-\frac{1}{3}\Big)-\Big(-1+\frac{1}{3}\Big)=\frac{2}{3}-\Big(-\frac{2}{3}\Big)=\frac{4}{3}.
Portanto \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi=\frac{4}{3}.

Passo 8

Voltando ao volume:
V=\frac{8}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{32}{9}.
Resultado final: o volume do sólido S é \dfrac{32}{9}. Você chegou até aqui — ótimo trabalho! Essa técnica de deslocar a origem e usar polares é bem poderosa para esse tipo de problema.

Resposta

\dfrac{32}{9}

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