S=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}-2 x \leq 0 \text { e } 0 \leq z \leq \sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}\right\} .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
S=\{(x,y,z): x^{2}+y^{2}-2x\le 0 \text{ e } 0\le z\le \sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}\}.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
A condição no plano xy é x^{2}+y^{2}-2x\le 0.
Para cada ponto (x,y) que satisfaz a condição acima, o eixo z varia de 0 até z=\sqrt{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}.
O que precisamos calcular: o volume do sólido S, isto é, a integral tripla do elemento de volume sobre a região S.
Passo 2
Primeiro identificamos a projeção D da região no plano xy. A desigualdade
Agora usamos coordenadas polares ( \rho,\varphi ) no plano X,Y:
X=\rho\cos\varphi,\qquad Y=\rho\sin\varphi,
com \rho\ge 0 e \varphi o ângulo. Substituindo na desigualdade X^{2}+Y^{2}\le 2Y obtemos
\rho^{2}\le 2\rho\sin\varphi.
Como \rho\ge 0, isso é equivalente a
\rho\le 2\sin\varphi.
Além disso, para que a extremidade \rho=2\sin\varphi seja não negativa precisamos de \sin\varphi\ge 0, isto é \varphi\in[0,\pi]. Portanto a região projetada em coordenadas polares (\rho,\varphi) é
Observação importante: a transformação é apenas um deslocamento de origem seguido de polares; a área elementar em X,Y vale dA=dX\,dY=\rho\,d\rho\,d\varphi.
Passo 5
Em termos de (\rho,\varphi) a integranda fica simples. Primeiro, para cada (X,Y) o limite superior em z é \sqrt{X^{2}+Y^{2}}=\rho. Integrando em z de 0 a \rho dá fator \rho. A integral dupla sobre D em x,y virou integral sobre D' em \rho,\varphi; o elemento de área traz outro fator \rho. Assim o volume é
Agora calculamos \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi. Usamos a identidade \sin^{3}\varphi=\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi) e substituímos u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0 tem u=1 e quando \varphi=\pi tem u=-1. Então
Resultado final: o volume do sólido S é \dfrac{32}{9}. Você chegou até aqui — ótimo trabalho! Essa técnica de deslocar a origem e usar polares é bem poderosa para esse tipo de problema.