Exercício 4 (4 pontos) Calcule
sendo:
-
e
.
-
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
-
O enunciado pede dois cálculos de integrais duplas sobre regiões
: - Calcular
com e . - Calcular
com e definido pelas desigualdades e .
- Calcular
-
Informações relevantes:
- No item (1) a região
é um retângulo simples: , . - No item (2) as condições definem
por um sistema de desigualdades que envolve tanto quanto ; é provável que uma mudança de variáveis que use e torne a região mais simples, porque e aparecem naturalmente nas desigualdades e na função integranda.
- No item (1) a região
Passo 2
Resolvendo o item (1). Estratégia: como
é um retângulo, usar a propriedade de Fubini e calcular a integral iterada. Vou integrar primeiro em
(mas qualquer ordem serve).
- Escrevo a integral iterada:
- Explicando a ideia: dentro da integral interna
atua como constante (pois estamos integrando em ). A fórmula básica que vou usar é a primitiva de em potência: para , . Aqui temos .
Passo 3
Computando a integral do item (1) com contas detalhadas:
- Integral interna:
- Agora integrar em
:
- Simplificando:
Então o valor da primeira integral é
.
Passo 4
Resolvendo o item (2). Observação e escolha do método: a integranda é
e a região é dada por desigualdades que envolvem
e
. Isso sugere a mudança de variáveis
porque assim a integranda e as desigualdades ficam simples em
. Vou mostrar passo a passo a transformação, calcular o jacobiano e transformar a região.
Passo 5
Determinar a inversa da transformação e o jacobiano.
- Resolver o sistema
Somando e combinando para achar
e
:
- Calcular o jacobiano
. As derivadas parciais são:
O determinante é
Portanto
. Isso significa que
.]
Passo 6
Transformar a função integranda em
.
- Note que
e . Logo
- Com o jacobiano, o elemento de área vira
. Assim o integrando em será .
Passo 7
Determinar os limites da região
em coordenadas
. Transformar cada desigualdade.
- A desigualdade
pode ser reescrita como
(Aqui subtraiu-se
de cada membro.)
- A desigualdade
transforma-se assim: - A primeira parte
:
substituire (ou fazer a álgebra direta) dá, após multiplicar para eliminar denominadores, - A segunda parte
:
proceder igual e simplificar resulta em
- A primeira parte
- Portanto, na nova coordenada a região
é o retângulo simples
Passo 8
Escrever a integral em
e calcular.
- A integral pedida vira
- Como a região é um retângulo, e a função separa em produto de função de
por função de , podemos separar as integrais:
Passo 9
Calcular cada integral separada com detalhes.
- Para
:
- Para
:
- Multiplicando tudo:
Portanto o valor da segunda integral é
.