Exercício 4 (4 pontos) Calcule \iint_{B} f(x, y) d x d y sendo:
  • f(x, y)=x^{2} y e B=[1,2] \times[0,3].
  • f(x, y)=\frac{\sqrt[3]{x+2 y}}{x-y} e B: 1+y \leq x \leq 2+y e \frac{-x}{2} \leq y \leq \frac{1-x}{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado pede dois cálculos de integrais duplas sobre regiões B:
    1. Calcular \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy com f(x,y)=x^{2}y e B=[1,2]\times[0,3].
    2. Calcular \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy com f(x,y)=\dfrac{\sqrt[3]{x+2y}}{x-y} e B definido pelas desigualdades 1+y\le x\le 2+y e -\dfrac{x}{2}\le y\le \dfrac{1-x}{2}.
  • Informações relevantes:
    • No item (1) a região B é um retângulo simples: x\in[1,2], y\in[0,3].
    • No item (2) as condições definem B por um sistema de desigualdades que envolve tanto x quanto y; é provável que uma mudança de variáveis que use u=x-y e v=x+2y torne a região mais simples, porque x-y e x+2y aparecem naturalmente nas desigualdades e na função integranda.

Passo 2

Resolvendo o item (1). Estratégia: como B é um retângulo, usar a propriedade de Fubini e calcular a integral iterada. Vou integrar primeiro em y (mas qualquer ordem serve).
  • Escrevo a integral iterada:
\iint_{B} x^{2}y\,dx\,dy = \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=0}^{3} x^{2}y\,dy\right)dx.
  • Explicando a ideia: dentro da integral interna x atua como constante (pois estamos integrando em y). A fórmula básica que vou usar é a primitiva de y em potência: para y^n, \int y^n\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}. Aqui temos y^1.

Passo 3

Computando a integral do item (1) com contas detalhadas:
  • Integral interna:
\int_{y=0}^{3} x^{2}y\,dy = x^{2}\int_{0}^{3} y\,dy = x^{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = x^{2}\cdot\frac{9}{2} = \frac{9}{2}x^{2}.
  • Agora integrar em x:
\int_{x=1}^{2} \frac{9}{2}x^{2}\,dx = \frac{9}{2}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{9}{2}\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right) = \frac{9}{2}\cdot\frac{7}{3}.
  • Simplificando:
\frac{9}{2}\cdot\frac{7}{3} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2}.
Então o valor da primeira integral é \dfrac{21}{2}.

Passo 4

Resolvendo o item (2). Observação e escolha do método: a integranda é \dfrac{\sqrt[3]{x+2y}}{x-y} e a região é dada por desigualdades que envolvem x-y e x+2y. Isso sugere a mudança de variáveis
u = x-y,\qquad v = x+2y,
porque assim a integranda e as desigualdades ficam simples em u,v. Vou mostrar passo a passo a transformação, calcular o jacobiano e transformar a região.

Passo 5

Determinar a inversa da transformação e o jacobiano.
  • Resolver o sistema
u = x-y,\qquad v = x+2y.
Somando e combinando para achar x e y:
v-u = 3y \quad\Rightarrow\quad y = \frac{v-u}{3}.
x = u+y = u + \frac{v-u}{3} = \frac{2u+v}{3}.
  • Calcular o jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. As derivadas parciais são:
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{2}{3},\quad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{1}{3},\quad \frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{1}{3},\quad \frac{\partial y}{\partial v}=\frac{1}{3}.
O determinante é
J=\det\begin{pmatrix}\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix} =\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}.
Portanto |J|=\dfrac{1}{3}. Isso significa que dx\,dy = \dfrac{1}{3}\,du\,dv.]

Passo 6

Transformar a função integranda em u,v.
  • Note que u=x-y e v=x+2y. Logo
f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{x+2y}}{x-y}=\frac{\sqrt[3]{v}}{u}= \frac{v^{1/3}}{u}.
  • Com o jacobiano, o elemento de área vira \dfrac{1}{3}\,du\,dv. Assim o integrando em u,v será \dfrac{v^{1/3}}{u}\cdot \dfrac{1}{3}.

Passo 7

Determinar os limites da região B em coordenadas u,v. Transformar cada desigualdade.
  • A desigualdade 1+y\le x\le 2+y pode ser reescrita como
1 \le x-y \le 2 \quad\Longrightarrow\quad 1\le u\le 2.
(Aqui subtraiu-se y de cada membro.)
  • A desigualdade -\dfrac{x}{2}\le y\le \dfrac{1-x}{2} transforma-se assim:
    • A primeira parte y\ge -\dfrac{x}{2}:
      substituir x=\dfrac{2u+v}{3} e y=\dfrac{v-u}{3} (ou fazer a álgebra direta) dá, após multiplicar para eliminar denominadores, 3v\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad v\ge 0.
    • A segunda parte y\le \dfrac{1-x}{2}:
      proceder igual e simplificar resulta em 3v \le 3 \quad\Longrightarrow\quad v\le 1.
  • Portanto, na nova coordenada a região B é o retângulo simples
u\in[1,2],\qquad v\in[0,1].

Passo 8

Escrever a integral em u,v e calcular.
  • A integral pedida vira
\iint_{B} \frac{\sqrt[3]{x+2y}}{x-y}\,dx\,dy = \int_{u=1}^{2}\int_{v=0}^{1} \frac{v^{1/3}}{u}\cdot\frac{1}{3}\,dv\,du.
  • Como a região é um retângulo, e a função separa em produto de função de v por função de u, podemos separar as integrais:
\int_{u=1}^{2}\int_{v=0}^{1} \frac{v^{1/3}}{u}\cdot\frac{1}{3}\,dv\,du = \frac{1}{3}\left(\int_{v=0}^{1} v^{1/3}\,dv\right)\left(\int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\,du\right).

Passo 9

Calcular cada integral separada com detalhes.
  • Para v:
\int_{0}^{1} v^{1/3}\,dv = \left[\frac{v^{4/3}}{4/3}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{4}.
  • Para u:
\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du = [\ln u]_{1}^{2} = \ln 2.
  • Multiplicando tudo:
\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot \ln 2 = \frac{1}{4}\ln 2.
Portanto o valor da segunda integral é \dfrac{1}{4}\ln 2.

Resposta

\dfrac{21}{2}
\dfrac{1}{4}\ln 2

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