Exercício 2: (1,6 pontos) Se f é contínua e \int_{5}^{8} f(t) d t=16, calcule \int_{0}^{1}(t+1) f\left(t^{2}+2 t+5\right) d t.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f contínua e informa que
\int_{5}^{8} f(t)\,dt = 16,
e pede para calcular
\int_{0}^{1}(t+1)\,f\bigl(t^{2}+2t+5\bigr)\,dt.
Observamos que a expressão dentro de f é u=t^{2}+2t+5 e sua derivada está quase aparecendo em frente a f. Portanto, faremos uma substituição de variável.

Passo 2

Definimos
u = t^{2} + 2t + 5.
Então
\frac{du}{dt} = 2t + 2 = 2\,(t+1) \quad\Longrightarrow\quad (t+1)\,dt = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Precisamos também transformar os limites de integração. Quando t=0,
u = 0^{2} + 2\cdot0 + 5 = 5.
Quando t=1,
u = 1^{2} + 2\cdot1 + 5 = 8.
Assim,
\int_{0}^{1}(t+1)\,f\bigl(t^{2}+2t+5\bigr)\,dt = \int_{u=5}^{u=8} f(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{5}^{8}f(u)\,du.

Passo 4

Como sabemos que
\int_{5}^{8}f(u)\,du = 16,
concluímos que
\int_{0}^{1}(t+1)\,f\bigl(t^{2}+2t+5\bigr)\,dt = \frac{1}{2}\times 16 = 8.

Resposta

8

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