Exercício 5:(3,0 pontos) Resolva as seguintes integrais aplicando o método da substituição ou da integração por partes:
\int \frac{(1+\ln (x))^{2}}{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{(1+\ln(x))^{2}}{x}\,dx.
O conteúdo aqui é o método da substituição, pois percebemos que a derivada de \ln(x) é 1/x. Vamos usar essa ideia para simplificar a integral.

Passo 2

Definimos
u = 1 + \ln(x),
de modo que
du = \frac{1}{x}\,dx.
Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{(1+\ln(x))^{2}}{x}\,dx = \int u^{2}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u. Sabemos que
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = 1 + \ln(x) na antiderivada:
\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{\bigl(1+\ln(x)\bigr)^{3}}{3} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{(1+\ln(x))^{3}}{3} + C

Exercícios relacionados