Exercício 1:(1.4 pontos) Encontre uma primitiva das funçōes abaixo e verifique sua resposta derivando.
f(x)=5 x^{2}+2 e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva (ou antiderivada) de
f(x)=5x^{2}+2e^{x},
ou seja, achar F(x) tal que F'(x)=f(x). Vamos usar duas regras básicas de integração:
  1. A regra do polinômio (power rule):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
  1. A regra da exponencial:
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes e calculamos cada uma:
\int 5x^{2}\,dx = 5 \int x^{2}\,dx = 5 \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{5}{3}x^{3},
\int 2e^{x}\,dx = 2 \int e^{x}\,dx = 2e^{x}.
Juntando e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x)=\frac{5}{3}x^{3} + 2e^{x} + C.

Passo 3

Para verificar, derivamos F(x) e conferimos se voltamos a f(x):
F'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{5}{3}x^{3}\Bigr) +\frac{d}{dx}\bigl(2e^{x}\bigr) = \frac{5}{3}\cdot 3x^{2} + 2e^{x} =5x^{2} + 2e^{x},
que é exatamente f(x). Logo a primitiva está correta.

Resposta

F(x)=\frac{5}{3}x^{3} + 2e^{x} + C.

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