Exercício 6. (1.3 Pontos)

Descreva e esboce a cônica cujos pontos são descritos pela equação
3 x^{2}-24 y^{2}-36 x+240 y=468

Passo 1

O enunciado dá a curva
3x^{2}-24y^{2}-36x+240y=468
e pede para identificar de que cônica se trata e fazer um esboço. Vamos usar o método de completar quadrados para colocar em forma canônica.

Passo 2

Agrupamos termos de x e de y e factorizamos os coeficientes:
3\bigl(x^{2}-12x\bigr)\;-\;24\bigl(y^{2}-10y\bigr)=468.
Agora completamos quadrados em cada grupo: x^{2}-12x=(x-6)^{2}-36 e y^{2}-10y=(y-5)^{2}-25. Substituindo:
3\bigl((x-6)^{2}-36\bigr)\;-\;24\bigl((y-5)^{2}-25\bigr)=468.

Passo 3

Expandindo e somando constantes:
3(x-6)^{2}-108\;-\;24(y-5)^{2}+600=468 \quad\Longrightarrow\quad 3(x-6)^{2}-24(y-5)^{2}=468-492=-24.
Multiplicando por -1 e dividindo por 24:
24(y-5)^{2}-3(x-6)^{2}=24 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(y-5)^{2}}{1}-\frac{(x-6)^{2}}{8}=1.

Passo 4

Da forma
\frac{(y-5)^{2}}{1}-\frac{(x-6)^{2}}{8}=1
vemos que é uma hipérbole com:
– centro em (6,5),
– eixo transverso vertical (termo positivo em y),
a^{2}=1\implies a=1, então os vértices são (6,5\pm1)=(6,6) e (6,4),
b^{2}=8\implies b=2\sqrt{2}.
As assíntotas da hipérbole vêm de
(y-5)^{2}\approx\frac{(x-6)^{2}}{8} \;\Longrightarrow\; y-5=\pm\frac{x-6}{\sqrt{8}} =\pm\frac{\sqrt{2}}{4}(x-6).

Passo 5

Para esboçar:
  1. Marque o centro (6,5).
  2. Trace os vértices (6,6) e (6,4) e desenhe o eixo transverso vertical.
  3. A partir do centro, trace as duas assíntotas de inclinação \pm\tfrac{\sqrt{2}}{4}.
  4. Desenhe os ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A equação canônica é
\frac{(y-5)^{2}}{1}-\frac{(x-6)^{2}}{8}=1,
é uma hipérbole de centro (6,5), vértices (6,6) e (6,4), e assíntotas
y-5=\pm\frac{\sqrt{2}}{4}(x-6).

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