Exercício 6. (1.3 Pontos)
Descreva e esboce a cônica cujos pontos são descritos pela equação
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede para identificar de que cônica se trata e fazer um esboço. Vamos usar o método de completar quadrados para colocar em forma canônica.
Passo 2
Agrupamos termos de
e de
e factorizamos os coeficientes:
Agora completamos quadrados em cada grupo:
e
. Substituindo:
Passo 3
Expandindo e somando constantes:
Multiplicando por
e dividindo por
:
Passo 4
Da forma
vemos que é uma hipérbole com:
– centro em ,
– eixo transverso vertical (termo positivo em ),
– , então os vértices são
e
,
– .
– centro em
– eixo transverso vertical (termo positivo em
–
–
As assíntotas da hipérbole vêm de
Passo 5
Para esboçar:
- Marque o centro
. - Trace os vértices
e e desenhe o eixo transverso vertical. - A partir do centro, trace as duas assíntotas de inclinação
. - Desenhe os ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
A equação canônica é
é uma hipérbole de centro
, vértices
e
, e assíntotas