Exercício 1 (2 pontos) Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
(a) Se u e v forem vetores ortogonais, entāo dados quaisquer escalares não nulos
e s, os vetores ru e sv são ortogonais.
b) Um vetor normal a um plano pode ser obtido tomando o produto vetorial de dois vetores não nulos e não colincares que estão no plano.
c) Se
c
forem vetores cm
, com
não nulo e
, então
.
d) O produto misto de
e
determina um vetor cujo comprimento é igual ao volume do paralelepípedo determinado por
.
(a) Se u e v forem vetores ortogonais, entāo dados quaisquer escalares não nulos
b) Um vetor normal a um plano pode ser obtido tomando o produto vetorial de dois vetores não nulos e não colincares que estão no plano.
c) Se
d) O produto misto de
Passo 1
O enunciado pede para julgar como verdadeiras ou falsas quatro afirmações envolvendo produtos escalar, vetorial e misto em
. Vamos rever as definições básicas:
– Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero.
– O produto vetorial de dois vetores em um mesmo plano é um vetor perpendicular ao plano.
– Se , então
.
– O produto misto é um escalar cujo valor absoluto dá o volume do paralelepípedo gerado por
.
– Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero.
– O produto vetorial de dois vetores em um mesmo plano é um vetor perpendicular ao plano.
– Se
– O produto misto
Passo 2
Afirmação (a): “Se
e
são ortogonais, então para quaisquer escalares não nulos
e
os vetores
e
são ortogonais.”
Como
Como
e
, segue que
. Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): “Um vetor normal a um plano pode ser obtido tomando o produto vetorial de dois vetores não nulos e não colineares que estão no plano.”
Se e
são dois vetores não colineares do plano, então
é perpendicular a ambos e, portanto, normal ao plano. Assim, a afirmação é verdadeira.
Se
Passo 4
Afirmação (c): “Se
, com
e
, então
.”
Da igualdade segue , ou seja,
é paralelo a
. Logo
pode diferir de
por um múltiplo de
. Exemplo concreto:
,
,
dão o mesmo produto vetorial mas
. Portanto, a afirmação é falsa.
Da igualdade segue
Passo 5
Afirmação (d): “O produto misto de
e
determina um vetor cujo comprimento é igual ao volume do paralelepípedo determinado por
e
.”
Na verdade, o produto misto
Na verdade, o produto misto
é um escalar (não um vetor) e seu valor absoluto
é o volume do paralelepípedo. Logo, a afirmação está errada e é falsa.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa