Exercício 1 (2 pontos) Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
(a) Se u e v forem vetores ortogonais, entāo dados quaisquer escalares não nulos r e s, os vetores ru e sv são ortogonais.
b) Um vetor normal a um plano pode ser obtido tomando o produto vetorial de dois vetores não nulos e não colincares que estão no plano.
c) Se u, v c w forem vetores cm \mathrm{R}^{3}, com u não nulo e u \times v=u \times w, então v=w.
d) O produto misto de u, v e w determina um vetor cujo comprimento é igual ao volume do paralelepípedo determinado por u, v \in w.

Passo 1

O enunciado pede para julgar como verdadeiras ou falsas quatro afirmações envolvendo produtos escalar, vetorial e misto em \mathbb{R}^3. Vamos rever as definições básicas:
– Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero.
– O produto vetorial de dois vetores em um mesmo plano é um vetor perpendicular ao plano.
– Se \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{u}\times\mathbf{w}, então \mathbf{u}\times(\mathbf{v}-\mathbf{w})=\mathbf{0}.
– O produto misto \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) é um escalar cujo valor absoluto dá o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}.

Passo 2

Afirmação (a): “Se \mathbf{u} e \mathbf{v} são ortogonais, então para quaisquer escalares não nulos r e s os vetores r\mathbf{u} e s\mathbf{v} são ortogonais.”
Como
(r\mathbf{u})\cdot(s\mathbf{v})=r\,s\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})
e \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0, segue que (r\mathbf{u})\cdot(s\mathbf{v})=0. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Um vetor normal a um plano pode ser obtido tomando o produto vetorial de dois vetores não nulos e não colineares que estão no plano.”
Se \mathbf{a} e \mathbf{b} são dois vetores não colineares do plano, então \mathbf{a}\times\mathbf{b} é perpendicular a ambos e, portanto, normal ao plano. Assim, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Se \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^3, com \mathbf{u}\neq\mathbf{0} e \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{u}\times\mathbf{w}, então \mathbf{v}=\mathbf{w}.”
Da igualdade segue \mathbf{u}\times(\mathbf{v}-\mathbf{w})=\mathbf{0}, ou seja, \mathbf{v}-\mathbf{w} é paralelo a \mathbf{u}. Logo \mathbf{v} pode diferir de \mathbf{w} por um múltiplo de \mathbf{u}. Exemplo concreto: \mathbf{u}=(1,0,0), \mathbf{v}=(0,1,0), \mathbf{w}=(1,1,0) dão o mesmo produto vetorial mas \mathbf{v}\neq\mathbf{w}. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “O produto misto de \mathbf{u},\mathbf{v} e \mathbf{w} determina um vetor cujo comprimento é igual ao volume do paralelepípedo determinado por \mathbf{u},\mathbf{v} e \mathbf{w}.”
Na verdade, o produto misto
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})
é um escalar (não um vetor) e seu valor absoluto \bigl|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr| é o volume do paralelepípedo. Logo, a afirmação está errada e é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa

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