Exercício 3 (2,5 pontos) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por:
T(x, y, z)=(-3 y-2 x,-z+2 x)
e as bases \beta=\{(0,0,-3),(-3,1,0),(1,0,4)\} de \mathbb{R}^{3} e \beta^{\prime}=\{(0,1),(4,-3)\} de \mathbb{R}^{2}. Determine matriz [T]_{\beta^{\prime}}^{\beta} associada a transformação linear T.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T relativa à base \beta de \mathbb{R}^3 e à base \beta' de \mathbb{R}^2. O conteúdo é mudança de base de transformação linear: primeiro calculamos T em cada vetor de \beta; em seguida expressamos esses vetores imagem como combinação linear dos vetores de \beta'; as coordenadas obtidas formam as colunas de [T]_{\beta'}^{\beta}.

Passo 2

Vamos calcular T em cada vetor de \beta.
Para \mathbf{b}_1=(0,0,-3):
T(0,0,-3)=\bigl(-3\cdot0-2\cdot0,\;-(-3)+2\cdot0\bigr)=(0,3).
Para \mathbf{b}_2=(-3,1,0):
T(-3,1,0)=\bigl(-3\cdot1-2\cdot(-3),\;-0+2\cdot(-3)\bigr)=(3,-6).
Para \mathbf{b}_3=(1,0,4):
T(1,0,4)=\bigl(-3\cdot0-2\cdot1,\;-4+2\cdot1\bigr)=(-2,-2).

Passo 3

Expressão de T(\mathbf{b}_1)=(0,3) na base \beta'=\{(0,1),(4,-3)\}. Procuramos a,b tais que
a\,(0,1)+b\,(4,-3)=(0,3).
Isso gera o sistema 4b=0 e a-3b=3. Daí b=0 e a=3. Logo as coordenadas são
[\,T(\mathbf{b}_1)\,]_{\beta'}=(3,0).

Passo 4

Expressão de T(\mathbf{b}_2)=(3,-6) na base \beta'. Queremos a,b tal que
a\,(0,1)+b\,(4,-3)=(3,-6).
Do sistema 4b=3 e a-3b=-6 vem b=\tfrac{3}{4} e a=-6+3\cdot\tfrac{3}{4}=-\tfrac{15}{4}. Assim
[\,T(\mathbf{b}_2)\,]_{\beta'}=\bigl(-\tfrac{15}{4},\tfrac{3}{4}\bigr).

Passo 5

Expressão de T(\mathbf{b}_3)=(-2,-2) na base \beta'. Buscamos a,b tais que
a\,(0,1)+b\,(4,-3)=(-2,-2).
Do sistema 4b=-2 e a-3b=-2 resulta b=-\tfrac12 e a=-2-3\bigl(-\tfrac12\bigr)=-\tfrac72. Logo
[\,T(\mathbf{b}_3)\,]_{\beta'}=\bigl(-\tfrac72,-\tfrac12\bigr).

Passo 6

As colunas de [T]_{\beta'}^{\beta} são exatamente esses vetores de coordenadas. Portanto
[T]_{\beta'}^{\beta} =\begin{pmatrix} 3 & -\tfrac{15}{4} & -\tfrac{7}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{\beta'}^{\beta} =\begin{pmatrix} 3 & -\tfrac{15}{4} & -\tfrac{7}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

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