Exercício 3. (1.7 Pontos)

Calcule o volume de uma pirâmide de base quadrangular, onde A B C D é o seu quadrilátero da base A=(1,3,5), B=(2,1,1), C=(3,3,6), D=\left(\frac{1}{2}, 4,7\right) e P=(1,1,7) seu vértice.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrilátero ABCD e cujo vértice é P. O conteúdo necessário é o cálculo de volume de tetraedro via produto misto (determinante de três vetores). Como a base é quadrilátero, vamos dividi-la em dois triângulos e somar os volumes dos dois tetraedros correspondentes.

Passo 2

Dividimos o quadrilátero ABCD em dois triângulos ABC e ACD. O volume de cada tetraedro PXYZ é
V_{XYZ} = \frac{1}{6}\bigl|\det(\overrightarrow{PX},\overrightarrow{PY},\overrightarrow{PZ})\bigr|.

Passo 3

Calcular os vetores que vão de P a cada vértice:
\overrightarrow{PA}=A-P=(1,3,5)-(1,1,7)=(0,2,-2),
\overrightarrow{PB}=B-P=(2,1,1)-(1,1,7)=(1,0,-6),
\overrightarrow{PC}=C-P=(3,3,6)-(1,1,7)=(2,2,-1),
\overrightarrow{PD}=D-P=\Bigl(\tfrac12,4,7\Bigr)-(1,1,7)=\Bigl(-\tfrac12,3,0\Bigr).

Passo 4

Calcular o determinante para o tetraedro PABC:
primeiro o produto vetorial
\overrightarrow{PB}\times\overrightarrow{PC} =(1,0,-6)\times(2,2,-1)=(12,-11,2),
depois o produto escalar
\det(\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}) =\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}\times\overrightarrow{PC}) =0\cdot12 + 2\cdot(-11) + (-2)\cdot2 = -26.

Passo 5

O volume do tetraedro PABC é
V_{ABC} = \frac{1}{6}\bigl|{-26}\bigr| = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}.

Passo 6

Calcular o determinante para o tetraedro PACD:
\overrightarrow{PC}\times\overrightarrow{PD} =(2,2,-1)\times\Bigl(-\tfrac12,3,0\Bigr)=(3,\tfrac12,7),
\det(\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PD}) =\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PC}\times\overrightarrow{PD}) =0\cdot3 + 2\cdot\tfrac12 + (-2)\cdot7 = -13.

Passo 7

O volume do tetraedro PACD é
V_{ACD} = \frac{1}{6}\bigl|{-13}\bigr| = \frac{13}{6}.
Somando os dois volumes, obtemos o volume total da pirâmide:
V = V_{ABC} + V_{ACD} = \frac{13}{3} + \frac{13}{6} = \frac{13}{2}.

Resposta

O volume da pirâmide é \displaystyle \frac{13}{2}.

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