Exercício 3. A tensão de cisalhamento em um eixo submetido à torção é dada por:
\tau(r)=\frac{5 r^{4}+3 r^{2}+2}{r^{2}+r}
onde r é a distância radial do centro do eixo (em metros) e \tau está em Pa.
  1. Aplique a regra do quociente para determinar \tau^{\prime}(r).
  2. Encontre \tau^{\prime \prime}(r) e discuta seu uso na análise de concentração de tensões.

Passo 1

O enunciado dá a função tensão de cisalhamento
\tau(r)=\frac{5 r^{4}+3 r^{2}+2}{r^{2}+r},
onde \,r é a distância radial (em metros) e \tau está em Pa. As perguntas são:
  1. Calcular \tau'(r) aplicando a regra do quociente.
  2. Calcular \tau''(r) e discutir como esse segundo derivado pode ser usado na análise de concentração de tensões.
Informações relevantes que temos (sem começar a resolver ainda):
N(r)=5 r^{4}+3 r^{2}+2 \quad\text{(numerador)},\qquad D(r)=r^{2}+r \quad\text{(denominador)}.
A função não está definida quando D(r)=0, isto é, em r=0 e r=-1, mas como r é distância radial consideramos r>0.

Passo 2

Relembre a regra do quociente (a fórmula e o significado das variáveis): se
f(r)=\frac{N(r)}{D(r)},
então a derivada é dada por
f'(r)=\frac{N'(r)\,D(r)-N(r)\,D'(r)}{[D(r)]^{2}}.
Aqui N'(r) é a derivada do numerador em relação a r, e D'(r) é a derivada do denominador em relação a r. Essa fórmula vem da derivação do produto combinada com a regra da cadeia e é a forma padrão para derivar uma fração.

Passo 3

Calcule N'(r) e D'(r). Derivando termo a termo:
N(r)=5r^{4}+3r^{2}+2 \implies N'(r)=20r^{3}+6r,
D(r)=r^{2}+r \implies D'(r)=2r+1.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
\tau'(r)=\frac{N'(r)D(r)-N(r)D'(r)}{[D(r)]^{2}} =\frac{(20r^{3}+6r)(r^{2}+r)-(5r^{4}+3r^{2}+2)(2r+1)}{(r^{2}+r)^{2}}.
Vamos expandir cuidadosamente os dois produtos do numerador.
Primeiro produto:
(20r^{3}+6r)(r^{2}+r)=20r^{5}+20r^{4}+6r^{3}+6r^{2}.
Segundo produto:
(5r^{4}+3r^{2}+2)(2r+1)=10r^{5}+5r^{4}+6r^{3}+3r^{2}+4r+2.
Subtraindo o segundo do primeiro (numerador):
\begin{aligned} &\big(20r^{5}+20r^{4}+6r^{3}+6r^{2}\big)-\big(10r^{5}+5r^{4}+6r^{3}+3r^{2}+4r+2\big)\\\ &=10r^{5}+15r^{4}+0\cdot r^{3}+3r^{2}-4r-2. \end{aligned}
Portanto
\tau'(r)=\frac{10r^{5}+15r^{4}+3r^{2}-4r-2}{(r^{2}+r)^{2}}.

Passo 5

Breve comentário didático sobre \tau'(r): \tau'(r) dá a taxa de variação radial da tensão de cisalhamento. Zeros de \tau'(r) (ou seja, soluções de 10r^{5}+15r^{4}+3r^{2}-4r-2=0) correspondem a pontos críticos (máximos, mínimos ou pontos de sela) da distribuição de tensão. A classificação desses pontos pede o uso de \tau''(r), que vamos calcular agora.

Passo 6

Para calcular \tau''(r) é mais eficiente usar uma forma organizada. Temos
\tau'(r)=\frac{A(r)}{[D(r)]^{2}},\qquad A(r)=10r^{5}+15r^{4}+3r^{2}-4r-2,\qquad D(r)=r^{2}+r.
Derivando \tau' usando a regra do quociente e a identificação [D(r)]^{2} como denominador, podemos usar a forma
\frac{d}{dr}\!\left(\frac{A}{D^{2}}\right)=\frac{A' D^{2}-A\,(D^{2})'}{D^{4}}.
Como (D^{2})'=2D D', o numerador simplifica para
A' D^{2}-A\cdot 2D D'=D\big(A' D-2A D'\big).
Assim
\tau''(r)=\frac{A' D-2A D'}{D^{3}}.

Passo 7

Calcule A'(r) e já lembrando D'(r)=2r+1:
A(r)=10r^{5}+15r^{4}+3r^{2}-4r-2 \implies A'(r)=50r^{4}+60r^{3}+6r-4.
Agora calculamos os dois produtos A' D e 2A D' e então subtraímos.
Calcule A'(r)\,D(r):
\begin{aligned} A' D &= (50r^{4}+60r^{3}+6r-4)(r^{2}+r)\\\ &=50r^{6}+110r^{5}+60r^{4}+6r^{3}+2r^{2}-4r. \end{aligned}
Calcule 2A(r)D'(r). Note que 2D'(r)=4r+2, então
\begin{aligned} 2A D' &= (4r+2)(10r^{5}+15r^{4}+3r^{2}-4r-2)\\\ &=40r^{6}+80r^{5}+30r^{4}+12r^{3}-10r^{2}-16r-4. \end{aligned}
Agora fazemos A' D-2A D':
\begin{aligned} &\big(50r^{6}+110r^{5}+60r^{4}+6r^{3}+2r^{2}-4r\big)\\\ &\quad-\big(40r^{6}+80r^{5}+30r^{4}+12r^{3}-10r^{2}-16r-4\big)\\\ &=10r^{6}+30r^{5}+30r^{4}-6r^{3}+12r^{2}+12r+4. \end{aligned}
Portanto
\tau''(r)=\frac{10r^{6}+30r^{5}+30r^{4}-6r^{3}+12r^{2}+12r+4}{(r^{2}+r)^{3}}.
Podemos, se quisermos, colocar um fator comum 2 em evidência no numerador:
\tau''(r)=\frac{2\big(5r^{6}+15r^{5}+15r^{4}-3r^{3}+6r^{2}+6r+2\big)}{(r^{2}+r)^{3}}.

Passo 8

Discussão didática do uso de \tau''(r) na análise de concentração de tensões:
  • Interpretação matemática: \tau''(r) mede a curvatura da função \tau(r). Se \tau''(r)>0 localmente, \tau é localmente côncava para cima (mínimo local se \tau'=0); se \tau''(r)<0, \tau é côncava para baixo (máximo local se \tau'=0). Para identificar pontos de concentração de tensão (picos), você procura pontos onde \tau'(r)=0 e \tau''(r)<0 (máximo local).
  • Interpretação física: em eixos e peças, concentrações de tensão correspondem a locais onde a tensão é relativamente alta comparada às vizinhanças — isso aumenta a probabilidade de início de falha. Encontrar máximos locais de \tau(r) (usando \tau'=0 e confirmando com \tau''<0) identifica locais críticos de projeto.
  • Observações práticas para prova/controle rápido: resolver analiticamente 10r^{5}+15r^{4}+3r^{2}-4r-2=0 pode ser difícil (polinomial de alta ordem). Em prova, uma abordagem é procurar soluções óbvias (por tentativa de raízes racionais), analisar sinais e limites (por exemplo, comportamento quando r\to0^+ e r\to+\infty) e, quando necessário, justificar uso de métodos numéricos ou aproximações. Note que aqui \tau(r) tende para +\infty quando r\to0^+ porque o denominador r^{2}+r se anula em r=0; isso indica que o modelo tem singularidade no centro (às vezes um indício de que o modelo idealizado não vale exatamente em r=0).
  • Dica de prova: explique claramente domínio ( r>0), mostre como obter \tau' (como fizemos) e então argumente sobre a localização de máximos/minimos usando sinais de \tau' e \tau''; se pedirem valores numéricos, use uma calculadora ou métodos de aproximação, mas justifique o procedimento.

Resposta

\tau'(r)=\frac{10r^{5}+15r^{4}+3r^{2}-4r-2}{(r^{2}+r)^{2}}
\tau''(r)=\frac{10r^{6}+30r^{5}+30r^{4}-6r^{3}+12r^{2}+12r+4}{(r^{2}+r)^{3}}

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