Exercício 3. A tensão de cisalhamento em um eixo submetido à torção é dada por:
onde
é a distância radial do centro do eixo (em metros) e
está em Pa.
- Aplique a regra do quociente para determinar
.
- Encontre
e discuta seu uso na análise de concentração de tensões.
Passo 1
O enunciado dá a função tensão de cisalhamento
onde
é a distância radial (em metros) e
está em Pa. As perguntas são:
- Calcular
aplicando a regra do quociente. - Calcular
e discutir como esse segundo derivado pode ser usado na análise de concentração de tensões.
Informações relevantes que temos (sem começar a resolver ainda):
A função não está definida quando
, isto é, em
e
, mas como
é distância radial consideramos
.
Passo 2
Relembre a regra do quociente (a fórmula e o significado das variáveis): se
então a derivada é dada por
Aqui
é a derivada do numerador em relação a
, e
é a derivada do denominador em relação a
. Essa fórmula vem da derivação do produto combinada com a regra da cadeia e é a forma padrão para derivar uma fração.
Passo 3
Calcule
e
. Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente:
Vamos expandir cuidadosamente os dois produtos do numerador.
Primeiro produto:
Segundo produto:
Subtraindo o segundo do primeiro (numerador):
Portanto
Passo 5
Breve comentário didático sobre
:
dá a taxa de variação radial da tensão de cisalhamento. Zeros de
(ou seja, soluções de
) correspondem a pontos críticos (máximos, mínimos ou pontos de sela) da distribuição de tensão. A classificação desses pontos pede o uso de
, que vamos calcular agora.
Passo 6
Para calcular
é mais eficiente usar uma forma organizada. Temos
Derivando
usando a regra do quociente e a identificação
como denominador, podemos usar a forma
Como
, o numerador simplifica para
Assim
Passo 7
Calcule
e já lembrando
:
Agora calculamos os dois produtos
e
e então subtraímos.
Calcule
:
Calcule
. Note que
, então
Agora fazemos
:
Portanto
Podemos, se quisermos, colocar um fator comum
em evidência no numerador:
Passo 8
Discussão didática do uso de
na análise de concentração de tensões:
- Interpretação matemática:
mede a curvatura da função . Se localmente, é localmente côncava para cima (mínimo local se ); se , é côncava para baixo (máximo local se ). Para identificar pontos de concentração de tensão (picos), você procura pontos onde e (máximo local). - Interpretação física: em eixos e peças, concentrações de tensão correspondem a locais onde a tensão é relativamente alta comparada às vizinhanças — isso aumenta a probabilidade de início de falha. Encontrar máximos locais de
(usando e confirmando com ) identifica locais críticos de projeto. - Observações práticas para prova/controle rápido: resolver analiticamente
pode ser difícil (polinomial de alta ordem). Em prova, uma abordagem é procurar soluções óbvias (por tentativa de raízes racionais), analisar sinais e limites (por exemplo, comportamento quando e ) e, quando necessário, justificar uso de métodos numéricos ou aproximações. Note que aqui tende para quando porque o denominador se anula em ; isso indica que o modelo tem singularidade no centro (às vezes um indício de que o modelo idealizado não vale exatamente em ). - Dica de prova: explique claramente domínio (
), mostre como obter (como fizemos) e então argumente sobre a localização de máximos/minimos usando sinais de e ; se pedirem valores numéricos, use uma calculadora ou métodos de aproximação, mas justifique o procedimento.