Exercício 2. A deformação vertical de uma laje sob carga é descrita por:
D(x)=4 x^{3}-2 x^{2}+5 x+\frac{1}{x+1}
Use as regras de soma e quociente para calcular D^{\prime}(x).
Determine D^{\prime \prime}(x) e explique como ela se relaciona com a rigidez da laje.

Passo 1

O enunciado dá a função deformação vertical da laje
D(x)=4x^{3}-2x^{2}+5x+\frac{1}{x+1}
e pede duas coisas:
  1. Calcular D^{\prime}(x) usando as regras de soma e quociente.
  2. Determinar D^{\prime\prime}(x) e explicar como ela se relaciona com a rigidez da laje.
Informações relevantes fornecidas:
D(x)=4x^{3}-2x^{2}+5x+\frac{1}{x+1}.
Não há mais dados numéricos; a tarefa é simbólica (derivar e interpretar).

Passo 2

Apresento as regras que vamos usar (de forma bem explicada):
Regra da soma (ou linearidade):
Se F(x)=f(x)+g(x) então
F'(x)=f'(x)+g'(x).
Ou seja: a derivada da soma é a soma das derivadas. Aqui cada termo de D(x) será derivado separadamente.
Regra do quociente:
Se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando as letras: u(x) é o numerador, v(x) é o denominador; u'(x) e v'(x) são as derivadas deles. Vamos aplicar essa regra ao termo \dfrac{1}{x+1}, com u(x)=1 e v(x)=x+1.
Também usaremos a regra da potência para polinômios (caso você preferisse): se p(x)=a x^{n} então
p'(x)=a\,n\,x^{n-1}.
Isto é direto para 4x^{3}, -2x^{2} e 5x.

Passo 3

Derivo termo a termo os três primeiros termos polinomiais usando a regra da potência:
Para 4x^{3}:
\frac{d}{dx}\big(4x^{3}\big)=4\cdot 3 x^{2}=12x^{2}.
Para -2x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(-2x^{2}\big)=-2\cdot 2 x^{1}=-4x.
Para 5x:
\frac{d}{dx}\big(5x\big)=5.
Anota aí: já temos as derivadas parciais dos três primeiros termos: 12x^{2}, -4x e 5.

Passo 4

Agora aplico a regra do quociente ao termo \dfrac{1}{x+1}.
Escolho
u(x)=1,\qquad v(x)=x+1.
Calculo as derivadas:
u'(x)=0,\qquad v'(x)=1.
Pelo quociente,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+1}\right)=\frac{0\cdot (x+1)-1\cdot 1}{(x+1)^{2}}=-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
(Comentário didático: poderia-se também escrever \dfrac{1}{x+1}=(x+1)^{-1} e usar a regra da potência combinada com a cadeia; o resultado é o mesmo.)

Passo 5

Agora somo todas as derivadas parciais (regra da soma). Assim
D'(x)=12x^{2}-4x+5-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Vou deixar essa expressão bem explícita em forma pronta para usar.

Passo 6

Para obter D^{\prime\prime}(x) diferenciamos D'(x) termo a termo de novo.
Começando por cada termo:
Derivada de 12x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(12x^{2}\big)=24x.
Derivada de -4x:
\frac{d}{dx}\big(-4x\big)=-4.
Derivada de 5 (constante):
\frac{d}{dx}(5)=0.
Agora derivamos -\dfrac{1}{(x+1)^{2}}. É conveniente reescrever como - (x+1)^{-2} e usar a regra da potência + cadeia:
Se q(x)= (x+1)^{-2} então
q'(x) = -2 (x+1)^{-3}\cdot (x+1)' = -2 (x+1)^{-3}\cdot 1 = -\frac{2}{(x+1)^{3}}.
Como temos um sinal negativo inicial, a derivada de - (x+1)^{-2} fica
- q'(x) = -\left(-\frac{2}{(x+1)^{3}}\right)=\frac{2}{(x+1)^{3}}.
(Se preferir, poderíamos ter aplicado o quociente de novo ao termo -1/(x+1)^{2}; o resultado é igual.)

Passo 7

Somando os resultados do Passo 6:
D''(x)=24x-4+\frac{2}{(x+1)^{3}}.
Essa é a segunda derivada simplificada.

Passo 8

Interpretação física e relação com a rigidez (explicação didática e direta, sem pressupor que você já saiba):
  • Em teoria de flexão (ás vezes usada para vigas, e conceito análogo para lajes), a segunda derivada da deflexão em relação à coordenada espacial está relacionada à curvatura da linha defletida. Para pequenas deformações (pequenas inclinações) a curvatura aproximada é dada por \kappa(x)\approx D''(x). Ou seja: D''(x) mede quanto a laje “curva” naquele ponto.
  • A rigidez à flexão (frequentemente chamada de rigidez flexural ou rigidez à dobra) — no caso de uma viga é o produto EI (módulo de Young E vezes momento de inércia I); para lajes há uma expressão análoga D (rigidez da placa). A relação entre momento fletor M(x), curvatura e rigidez é, na teoria linear:
M(x)=\text{(rigidez)}\times \text{curvatura}.
Em notação comum para vigas:
M(x)=EI\,D''(x)
(ou com sinal oposto dependendo da convenção de sinais; o importante aqui é que M é proporcional a D'' com constante de proporcionalidade a rigidez).
  • Consequências práticas (como usar isso na prova):
    • Para uma mesma distribuição de momentos M(x), quanto maior for a rigidez da laje ( EI ou equivalente), menor será a curvatura |D''(x)|. Logo rigidez e curvatura são inversamente relacionadas quando o momento é fixo.
    • Valores positivos/negativos de D''(x) indicam concavidade (curvatura para cima ou para baixo). Por exemplo, se D''(x)>0 a laje está curvando para cima (concavidade para cima), se D''(x)<0 curvatura para baixo — o que ajuda a identificar regiões de tração/compressão dependendo da orientação e convenção de sinais.
    • Portanto, conhecendo D''(x) e os momentos, você pode inferir rigidez local; ou, sabendo a rigidez, pode calcular os momentos a partir de D''(x).

Resposta

D'(x)=12x^{2}-4x+5-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}
D''(x)=24x-4+\dfrac{2}{(x+1)^{3}}

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