Exercício 2. A deformação vertical de uma laje sob carga é descrita por:
Use as regras de soma e quociente para calcular
.
Determine
e explique como ela se relaciona com a rigidez da laje.
Determine
Passo 1
O enunciado dá a função deformação vertical da laje
e pede duas coisas:
- Calcular
usando as regras de soma e quociente. - Determinar
e explicar como ela se relaciona com a rigidez da laje.
Informações relevantes fornecidas:
Não há mais dados numéricos; a tarefa é simbólica (derivar e interpretar).
Passo 2
Apresento as regras que vamos usar (de forma bem explicada):
Regra da soma (ou linearidade):
Se então
Se
Ou seja: a derivada da soma é a soma das derivadas. Aqui cada termo de
será derivado separadamente.
Regra do quociente:
Se com
, então
Se
Explicando as letras:
é o numerador,
é o denominador;
e
são as derivadas deles. Vamos aplicar essa regra ao termo
, com
e
.
Também usaremos a regra da potência para polinômios (caso você preferisse): se
então
Isto é direto para
,
e
.
Passo 3
Derivo termo a termo os três primeiros termos polinomiais usando a regra da potência:
Para
:
Para
:
Para
:
Anota aí: já temos as derivadas parciais dos três primeiros termos:
e
.
Passo 4
Agora aplico a regra do quociente ao termo
.
Escolho
Calculo as derivadas:
Pelo quociente,
(Comentário didático: poderia-se também escrever
e usar a regra da potência combinada com a cadeia; o resultado é o mesmo.)
Passo 5
Agora somo todas as derivadas parciais (regra da soma). Assim
Vou deixar essa expressão bem explícita em forma pronta para usar.
Passo 6
Para obter
diferenciamos
termo a termo de novo.
Começando por cada termo:
Derivada de
:
Derivada de
:
Derivada de
(constante):
Agora derivamos
É conveniente reescrever como
e usar a regra da potência + cadeia:
Se
então
Como temos um sinal negativo inicial, a derivada de
fica
(Se preferir, poderíamos ter aplicado o quociente de novo ao termo
; o resultado é igual.)
Passo 7
Somando os resultados do Passo 6:
Essa é a segunda derivada simplificada.
Passo 8
Interpretação física e relação com a rigidez (explicação didática e direta, sem pressupor que você já saiba):
-
Em teoria de flexão (ás vezes usada para vigas, e conceito análogo para lajes), a segunda derivada da deflexão em relação à coordenada espacial está relacionada à curvatura da linha defletida. Para pequenas deformações (pequenas inclinações) a curvatura aproximada é dada por
. Ou seja: mede quanto a laje “curva” naquele ponto. -
A rigidez à flexão (frequentemente chamada de rigidez flexural ou rigidez à dobra) — no caso de uma viga é o produto
(módulo de Young vezes momento de inércia ); para lajes há uma expressão análoga (rigidez da placa). A relação entre momento fletor , curvatura e rigidez é, na teoria linear:
Em notação comum para vigas:
(ou com sinal oposto dependendo da convenção de sinais; o importante aqui é que
é proporcional a
com constante de proporcionalidade a rigidez).
- Consequências práticas (como usar isso na prova):
- Para uma mesma distribuição de momentos
, quanto maior for a rigidez da laje ( ou equivalente), menor será a curvatura . Logo rigidez e curvatura são inversamente relacionadas quando o momento é fixo. - Valores positivos/negativos de
indicam concavidade (curvatura para cima ou para baixo). Por exemplo, se a laje está curvando para cima (concavidade para cima), se curvatura para baixo — o que ajuda a identificar regiões de tração/compressão dependendo da orientação e convenção de sinais. - Portanto, conhecendo
e os momentos, você pode inferir rigidez local; ou, sabendo a rigidez, pode calcular os momentos a partir de .
- Para uma mesma distribuição de momentos