Exercício 5. A carga crítica
(em kN) em uma coluna é modelada por:
Aplique a regra do quociente para determinar
.
Encontre
e discuta seu uso na análise de flambagem (estabilidade da coluna).
Encontre
Passo 1
O enunciado dá a carga crítica
em função de
:
As tarefas pedidas são:
- Aplicar a regra do quociente para determinar
. - Encontrar
. - Discutir o uso de
e na análise de flambagem (estabilidade da coluna).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
está explícita. Observação imediata sobre o domínio: o denominador
anula-se em
e
, portanto esses valores não pertencem ao domínio de
.
Passo 2
Vou explicar a regra do quociente (a ferramenta que pediram). Seja uma função
com
e
diferenciáveis e
. A regra do quociente diz:
Aqui cada símbolo significa:
-
é o numerador da fração; -
é o denominador; -
e são as derivadas de e ; - o numerador da fórmula combina
e e subtrai ; - o denominador é sempre
.
No nosso caso tomamos
Passo 3
Calcular
e
usando a regra da potência (derivada de
é
):
-
Para
: Explicando: derivada deé ; derivada de é ; derivada de constante é . -
Para
: Explicando: derivada deé ; de é .
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente:
Vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo.
- Expandindo o primeiro produto:
- Expandindo o segundo produto:
- Subtraindo os dois resultados (primeiro menos segundo):
Ou seja o numerador é
Portanto
Podemos também escrever fatorando
:
Lembre-se:
e
.
Passo 5
Para obter
vamos derivar
. Uma forma limpa é ver
com
. Usamos a regra do produto e a cadeia (ou uma forma direta do quociente): se
, então
Isso vem de derivar
usando a regra do quociente ou produto+cadeia (detalhe técnico menor, a forma acima é equivalente e mais compacta).
Já temos
e
. Precisamos de
. Como
derivando termo a termo:
Agora aplicamos a fórmula:
Vamos expandir e simplificar (faça as contas com calma na prova):
- Expandindo a primeira parte:
- Expandindo a segunda parte (observe o fator
externo):
- Subtraindo (primeira parte menos segunda):
Portanto
Podemos também escrever com fator
à frente, se preferir:
Passo 6
Interpretação e uso em análise de flambagem (estabilidade):
-
Primeiro derivada
: zeros de (soluções de ) são pontos críticos onde pode ter máximo ou mínimo local. Em problemas de projeto, encontrar um máximo de em função de significa escolher que dá a maior carga crítica — em outras palavras, melhor resistência à flambagem. -
Segunda derivada
: a avaliação de num ponto crítico diz a natureza desse ponto: - Se em uma solução
de tivermos , então tem um máximo local em (bom para estabilidade: carga crítica local máxima). - Se
, então é mínimo local (geralmente indesejável para resistência). - Se
, o teste é inconclusivo e exige análise mais fina (ex.: derivadas superiores ou estudo do sinal de ao redor).
- Se em uma solução
-
Observações práticas:
- Os pontos onde
(ou seja e ) são singularidades — não está definida aí. Na engenharia isso pode corresponder a configurações geométricas impossíveis ou degeneradas. - O sinal de
depende do numerador porque o denominador tem sinal conhecido (depende do ) — atenção ao sinal total ao classificar pontos. - Em muitos casos práticos a equação
é polinomial de alta ordem (aqui grau 5), então costuma-se resolver numericamente ou analisar intervalos em vez de encontrar raízes fechadas.
- Os pontos onde
Resposta
Uso na flambagem: