Exercício 5. A carga crítica P(x) (em kN) em uma coluna é modelada por:
P(x)=\frac{4 x^{4}+3 x^{2}+2}{x^{2}+2 x}
Aplique a regra do quociente para determinar P^{\prime}(x).
Encontre P^{\prime \prime}(x) e discuta seu uso na análise de flambagem (estabilidade da coluna).

Passo 1

O enunciado dá a carga crítica P(x) em função de x:
P(x)=\frac{4 x^{4}+3 x^{2}+2}{x^{2}+2 x}.
As tarefas pedidas são:
  1. Aplicar a regra do quociente para determinar P^{\prime}(x).
  2. Encontrar P^{\prime\prime}(x).
  3. Discutir o uso de P^{\prime} e P^{\prime\prime} na análise de flambagem (estabilidade da coluna).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de P(x) está explícita. Observação imediata sobre o domínio: o denominador x^{2}+2x anula-se em x=0 e x=-2, portanto esses valores não pertencem ao domínio de P.

Passo 2

Vou explicar a regra do quociente (a ferramenta que pediram). Seja uma função \displaystyle P(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0. A regra do quociente diz:
P'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) é o numerador da fração;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v;
  • o numerador da fórmula combina u' e v e subtrai u\,v';
  • o denominador é sempre v^2.
No nosso caso tomamos
u(x)=4x^{4}+3x^{2}+2,\qquad v(x)=x^{2}+2x.

Passo 3

Calcular u'(x) e v'(x) usando a regra da potência (derivada de x^n é n x^{n-1}):
  • Para u(x)=4x^{4}+3x^{2}+2:
    u'(x)=16x^{3}+6x.
    Explicando: derivada de 4x^4 é 4\cdot4x^3=16x^3; derivada de 3x^2 é 3\cdot2x=6x; derivada de constante 2 é 0.
  • Para v(x)=x^{2}+2x:
    v'(x)=2x+2.
    Explicando: derivada de x^2 é 2x; de 2x é 2.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
P'(x)=\frac{(16x^{3}+6x)(x^{2}+2x)-(4x^{4}+3x^{2}+2)(2x+2)}{(x^{2}+2x)^{2}}.
Vamos expandir e simplificar o numerador passo a passo.
  1. Expandindo o primeiro produto:
(16x^{3}+6x)(x^{2}+2x)=16x^{5}+32x^{4}+6x^{3}+12x^{2}.
  1. Expandindo o segundo produto:
(4x^{4}+3x^{2}+2)(2x+2)=8x^{5}+8x^{4}+6x^{3}+6x^{2}+4x+4.
  1. Subtraindo os dois resultados (primeiro menos segundo):
\begin{aligned} &\big(16x^{5}+32x^{4}+6x^{3}+12x^{2}\big)-\big(8x^{5}+8x^{4}+6x^{3}+6x^{2}+4x+4\big)\\\ &=8x^{5}+24x^{4}+0x^{3}+6x^{2}-4x-4. \end{aligned}
Ou seja o numerador é
N(x)=8x^{5}+24x^{4}+6x^{2}-4x-4.
Portanto
P'(x)=\frac{8x^{5}+24x^{4}+6x^{2}-4x-4}{(x^{2}+2x)^{2}}.
Podemos também escrever fatorando 2:
P'(x)=\frac{2\big(4x^{5}+12x^{4}+3x^{2}-2x-2\big)}{(x^{2}+2x)^{2}}.
Lembre-se: x\neq0 e x\neq-2.

Passo 5

Para obter P''(x) vamos derivar P'(x). Uma forma limpa é ver P'(x)=N(x)\cdot\big(v(x)\big)^{-2} com v(x)=x^{2}+2x. Usamos a regra do produto e a cadeia (ou uma forma direta do quociente): se P'(x)=\dfrac{N(x)}{v(x)^2}, então
P''(x)=\frac{N'(x)\,v(x)-2\,N(x)\,v'(x)}{v(x)^3}.
Isso vem de derivar \dfrac{N}{v^2} usando a regra do quociente ou produto+cadeia (detalhe técnico menor, a forma acima é equivalente e mais compacta).
Já temos v(x)=x^{2}+2x e v'(x)=2x+2. Precisamos de N'(x). Como
N(x)=8x^{5}+24x^{4}+6x^{2}-4x-4,
derivando termo a termo:
N'(x)=40x^{4}+96x^{3}+12x-4.
Agora aplicamos a fórmula:
\begin{aligned} \text{numerador de }P''(x) &= N'(x)\,v(x)-2\,N(x)\,v'(x)\\\ &=(40x^{4}+96x^{3}+12x-4)(x^{2}+2x)-2(8x^{5}+24x^{4}+6x^{2}-4x-4)(2x+2). \end{aligned}
Vamos expandir e simplificar (faça as contas com calma na prova):
  1. Expandindo a primeira parte:
(40x^{4}+96x^{3}+12x-4)(x^{2}+2x)=40x^{6}+176x^{5}+192x^{4}+12x^{3}+20x^{2}-8x.
  1. Expandindo a segunda parte (observe o fator 2 externo):
2(8x^{5}+24x^{4}+6x^{2}-4x-4)(2x+2)=32x^{6}+128x^{5}+96x^{4}+24x^{3}+8x^{2}-32x-16.
  1. Subtraindo (primeira parte menos segunda):
\begin{aligned} &M(x)=40x^{6}+176x^{5}+192x^{4}+12x^{3}+20x^{2}-8x\\\ &\quad -\big(32x^{6}+128x^{5}+96x^{4}+24x^{3}+8x^{2}-32x-16\big)\\\ &=8x^{6}+48x^{5}+96x^{4}-12x^{3}+12x^{2}+24x+16. \end{aligned}
Portanto
P''(x)=\frac{8x^{6}+48x^{5}+96x^{4}-12x^{3}+12x^{2}+24x+16}{(x^{2}+2x)^{3}}.
Podemos também escrever com fator 4 à frente, se preferir:
P''(x)=\frac{4\big(2x^{6}+12x^{5}+24x^{4}-3x^{3}+3x^{2}+6x+4\big)}{(x^{2}+2x)^{3}}.

Passo 6

Interpretação e uso em análise de flambagem (estabilidade):
  • Primeiro derivada P'(x): zeros de P'(x) (soluções de N(x)=0) são pontos críticos onde P pode ter máximo ou mínimo local. Em problemas de projeto, encontrar um máximo de P em função de x significa escolher x que dá a maior carga crítica — em outras palavras, melhor resistência à flambagem.
  • Segunda derivada P''(x): a avaliação de P'' num ponto crítico diz a natureza desse ponto:
    • Se em uma solução x_0 de P'(x_0)=0 tivermos P''(x_0)<0, então P tem um máximo local em x_0 (bom para estabilidade: carga crítica local máxima).
    • Se P''(x_0)>0, então é mínimo local (geralmente indesejável para resistência).
    • Se P''(x_0)=0, o teste é inconclusivo e exige análise mais fina (ex.: derivadas superiores ou estudo do sinal de P' ao redor).
  • Observações práticas:
    • Os pontos onde v(x)=x^{2}+2x=0 (ou seja x=0 e x=-2) são singularidades — P não está definida aí. Na engenharia isso pode corresponder a configurações geométricas impossíveis ou degeneradas.
    • O sinal de P'' depende do numerador M(x) porque o denominador (x^{2}+2x)^{3} tem sinal conhecido (depende do x) — atenção ao sinal total ao classificar pontos.
    • Em muitos casos práticos a equação N(x)=0 é polinomial de alta ordem (aqui grau 5), então costuma-se resolver numericamente ou analisar intervalos em vez de encontrar raízes fechadas.

Resposta

P'(x)=\dfrac{8x^{5}+24x^{4}+6x^{2}-4x-4}{(x^{2}+2x)^{2}}.\n
P''(x)=\dfrac{8x^{6}+48x^{5}+96x^{4}-12x^{3}+12x^{2}+24x+16}{(x^{2}+2x)^{3}}.\n
Uso na flambagem: P'(x)=0 dá pontos críticos (candidatos a máximo/minimo da carga crítica); P''(x)<0 em um ponto crítico indica máximo local (configuração de maior resistência à flambagem), P''(x)>0 indica mínimo local; x=0 e x=-2 estão fora do domínio (singularidades).

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