Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular omega e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo magnético possui amplitude Bm e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
Bx=0 ; By=Bm sen(k x-omega t) ; Bz=0
Mostre que o vetor campo magnético é solução da equação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas eletromagnéticas no vácuo. A questão diz que o campo magnético dessa onda tem uma amplitude $ B_m $ e, em certo instante, suas componentes são:
Bm
O que precisamos fazer é mostrar que esse vetor campo magnético atende à equação da onda. Para isso, vamos precisar saber o que é a equação da onda e como aplicar as derivadas parciais nela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da onda para o campo magnético $ \mathbf{B} $ no vácuo. A equação geral é:
B
Aqui, $ \nabla^2 $ é o operador laplaciano que envolve derivadas espaciais, $ c $ é a velocidade da luz no vácuo, e $ \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $ é a segunda derivada temporal do campo magnético.

Passo 3

Como nosso campo $ \mathbf{B} $ tem apenas a componente $ B_y $, vamos focar nessa parte. Ou seja, precisamos verificar se:
B
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos o laplaciano de $ B_y $, que no nosso caso é uma função de $ x $ e $ t $:
By
Como $ B_y $ depende apenas de $ x $ e $ t $, as derivadas em relação a $ y $ e $ z $ são zero:
x

Passo 5

Vamos agora calcular a segunda derivada espacial de $ B_y $:
By
A primeira derivada em relação a $ x $ é:
By = Bm sin(kx - omega t)
E a segunda derivada é:
x

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de $ B_y $:
By
E a segunda derivada é:
partial Bypartial t = -Bm omega cos(kx - omega t)

Passo 7

Substituindo os resultados das derivadas na equação da onda:
nabla^2 By - 1c^2 partial^2 Bypartial t^2 = (-Bm k^2 sin(kx - omega t)) - 1c^2 (-Bm omega^2 sin(kx - omega t))
Simplificando:
= -Bm k^2 sin(kx - omega t) + Bm omega^2c^2 sin(kx - omega t)
= Bm sin(kx - omega t) ( -k^2 + omega^2c^2 )

Passo 8

Para que a equação da onda seja satisfeita, essa expressão precisa ser igual a zero:
Bm sin(kx - omega t) ( -k^2 + omega^2c^2 ) = 0
Como $ B_m $ e $ \sin(kx - \omega t) $ não são zero para toda a onda, a única maneira disso acontecer é:
Bm
Essa relação é conhecida como a dispersão da onda eletromagnética no vácuo, onde a frequência angular $ \omega $ está relacionada ao número de onda $ k $ pela velocidade da luz $ c $.

Resposta

Assim, mostramos que o vetor campo magnético $ \mathbf{B} $ dado satisfaz a equação da onda no vácuo quando $ \omega = c k $. Portanto, $ \mathbf{B} $ é realmente uma solução da equação da onda.

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