Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular
e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo magnético possui amplitude
e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
Mostre que o vetor campo magnético é solução da equação da onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre ondas eletromagnéticas no vácuo. A questão diz que o campo magnético dessa onda tem uma amplitude $ B_m $ e, em certo instante, suas componentes são:
O que precisamos fazer é mostrar que esse vetor campo magnético atende à equação da onda. Para isso, vamos precisar saber o que é a equação da onda e como aplicar as derivadas parciais nela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da onda para o campo magnético $ \mathbf{B} $ no vácuo. A equação geral é:
Aqui, $ \nabla^2 $ é o operador laplaciano que envolve derivadas espaciais, $ c $ é a velocidade da luz no vácuo, e $ \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $ é a segunda derivada temporal do campo magnético.
Passo 3
Como nosso campo $ \mathbf{B} $ tem apenas a componente $ B_y $, vamos focar nessa parte. Ou seja, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos o laplaciano de $ B_y $, que no nosso caso é uma função de $ x $ e $ t $:
Como $ B_y $ depende apenas de $ x $ e $ t $, as derivadas em relação a $ y $ e $ z $ são zero:
Passo 5
Vamos agora calcular a segunda derivada espacial de $ B_y $:
A primeira derivada em relação a $ x $ é:
E a segunda derivada é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de $ B_y $:
E a segunda derivada é:
Passo 7
Substituindo os resultados das derivadas na equação da onda:
Simplificando:
Passo 8
Para que a equação da onda seja satisfeita, essa expressão precisa ser igual a zero:
Como $ B_m $ e $ \sin(kx - \omega t) $ não são zero para toda a onda, a única maneira disso acontecer é:
Essa relação é conhecida como a dispersão da onda eletromagnética no vácuo, onde a frequência angular $ \omega $ está relacionada ao número de onda $ k $ pela velocidade da luz $ c $.
Resposta
Assim, mostramos que o vetor campo magnético $ \mathbf{B} $ dado satisfaz a equação da onda no vácuo quando $ \omega = c k $. Portanto, $ \mathbf{B} $ é realmente uma solução da equação da onda.