Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular omega e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo elétrico possui amplitude Em e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
Ex=0 ; Ey=Em sen(k x-omega t) ; Ez=0
A partir da equação de Faraday nabla times E=-partial Bpartial t encontre as componentes do vetor campo magnético.

Passo 1

O exercício diz que temos uma onda eletromagnética no vácuo (sem cargas nem correntes) que se propaga no eixo Ex = 0, Ey = Em ,sen(kx - omega t), Ez = 0 . O campo elétrico é
A matéria envolvida é Eletromagnetismo (equações de Maxwell) e cálculo vetorial (operador rotacional). Para resolver, vamos usar a lei de Faraday em forma diferencial:
nablatimes E ;=; -partial Bpartial t

Passo 2

Lembrando do rotacional de um campo (nablatimes E)x = partial Ezpartial y - partial Eypartial z, (nablatimes E)y = partial Expartial z - partial Ezpartial x, (nablatimes E)z = partial Eypartial x - partial Expartial y , suas componentes são
(nablatimes E)x = 0, (nablatimes E)y = 0, (nablatimes E)z = partialpartial xl(Emsen(kx-omega t)r)
No nosso caso, e são zero e só depende de e . Logo:

Passo 3

Calcula a derivada espacial:
Então
partialpartial xl(Emsen(kx-omega t)r) = Em ,k,cos(kx-omega t)
Pela lei de Faraday:
nablatimes E = l(0,0,,k Emcos(kx-omega t)r)
e nablatimes E ;=; -partial Bpartial t ;Longrightarrow; partial Bzpartial t = -,k Emcos(kx-omega t), , já que as outras componentes do rotacional deram zero.

Passo 4

Agora integramos em relação a Bz(x,t) = -k Em integral cos(kx-omega t),dt = -k Em l(1-omegar)sen(kx-omega t) + C(x) :
Escolhemos a constante de integração Bz(x,t) = k Emomega,sen(kx-omega t) (não há campo magnético estático). Então

Passo 5

Usando a relação da velocidade da luz no vácuo komega = 1c , temos
Bx = 0, By = 0, Bz = Emc,sen(kx-omega t)
Logo a amplitude do campo magnético é e

Resposta

As componentes do campo magnético são

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