Exercício 5.1. (Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Retângulo) Resolva os seguintes problemas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo $0,1×$0,1, ou seja
uxx+uyy=0, u(x,0)=u(x,1)=u(0,y)=0, u(1,y)=y(1-y)
Vai sobrar uma condição não homogênea em x=1 que a gente vai tratar por séries de Fourier. O conteúdo principal é separação de variáveis e uso de séries trigonométricas.
Passo 2
Começamos assumindo uma solução do tipo
u(x,y)=X(x),Y(y)
Plugando na equação de Laplace, obtemos X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0
e dividindo por X(x)Y(y) dá
X''(x)X(x)=-Y''(y)Y(y)=lambda
Isso separa o problema em duas EDOs acopladas por um parâmetro lambda.
Passo 3
Como temos condições nulas em y=0 e y=1, escolhemos valores de lambda>0 tal que
Y''(y)+lambda Y(y)=0,Y(0)=Y(1)=0
As autofunções não-triviais são Yn(y)=sin(npi y),lambdan=(npi)^2,
com n=1,2,3,dots.
Passo 4
Para cada n, a equação de X fica
Xn''(x)-(npi)^2Xn(x)=0
A solução geral é Xn(x)=An,e^npi x+Bn,e^-npi x,
mas como queremos u(0,y)=0 para todo y, isto é,
Xn(0)=0implies An+Bn=0,
então Xn(x)=Cnsinh(npi x),
com Cn=An.
Passo 5
A solução geral do problema é então a série
u(x,y)=sumn=1^inftyCnsinh(npi x)sin(npi y)
Só falta ajustar os coeficientes Cn para satisfazer u(1,y)=sumn=1^inftyCnsinh(npi)sin(npi y)=y(1-y)
Passo 6
Para encontrar Cn, usamos a ortogonalidade das senóides em [0,1]:
Esse é o resultado final: a soma dos modos ímpares de seno em y com decaimento hiperbólico em x, que satisfaz todas as condições de contorno do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo.