Exercício 5.1. (Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Retângulo) Resolva os seguintes problemas:
(b) l ux z+uy y=0 u(x, 0)=u(x, 1)=0 u(0, y)=0 e u(1, y)=y(1-y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo $ 0,1×$ 0,1, ou seja
uxx+uyy=0, u(x,0)=u(x,1)=u(0,y)=0, u(1,y)=y(1-y)
Vai sobrar uma condição não homogênea em x=1 que a gente vai tratar por séries de Fourier. O conteúdo principal é separação de variáveis e uso de séries trigonométricas.

Passo 2

Começamos assumindo uma solução do tipo
u(x,y)=X(x),Y(y)
Plugando na equação de Laplace, obtemos
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0
e dividindo por X(x)Y(y)
X''(x)X(x)=-Y''(y)Y(y)=lambda
Isso separa o problema em duas EDOs acopladas por um parâmetro lambda.

Passo 3

Como temos condições nulas em y=0 e y=1, escolhemos valores de lambda>0 tal que
Y''(y)+lambda Y(y)=0,Y(0)=Y(1)=0
As autofunções não-triviais são
Yn(y)=sin(npi y),lambdan=(npi)^2,
com n=1,2,3,dots.

Passo 4

Para cada n, a equação de X fica
Xn''(x)-(npi)^2Xn(x)=0
A solução geral é
Xn(x)=An,e^npi x+Bn,e^-npi x,
mas como queremos u(0,y)=0 para todo y, isto é,
Xn(0)=0implies An+Bn=0,
então
Xn(x)=Cnsinh(npi x),
com Cn=An.

Passo 5

A solução geral do problema é então a série
u(x,y)=sumn=1^inftyCnsinh(npi x)sin(npi y)
Só falta ajustar os coeficientes Cn para satisfazer
u(1,y)=sumn=1^inftyCnsinh(npi)sin(npi y)=y(1-y)

Passo 6

Para encontrar Cn, usamos a ortogonalidade das senóides em [0,1]:
Cnsinh(npi)=2integral0^1y(1-y)sin(npi y),dy
Denotando
In=integral0^1y(1-y)sin(npi y),dy,
calculamos por partes e obtemos
In=4sin^2(npi2)n^3pi^3

Passo 7

Isso implica que In só é não nulo para n=2m-1 (ímpares), e vale I2m-1=4/(,(2m-1)^3pi^3). Logo
Cn=2Insinh(npi)=8sin^2(npi2)n^3pi^3sinh(npi),
e para n=2m-1 ficamos com
C2m-1=8(2m-1)^3pi^3sinh((2m-1)pi)

Passo 8

Substituindo de volta, a solução final é a série em termos de modos ímpares:
u(x,y)=summ=1^infty8(2m-1)^3pi^3sinhl((2m-1)pi xr)sinhl((2m-1)pir)sinl((2m-1)pi yr)

Passo 9

Esse é o resultado final: a soma dos modos ímpares de seno em y com decaimento hiperbólico em x, que satisfaz todas as condições de contorno do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo.

Resposta

$ u(x,y)=summ=1^infty8(2m-1)^3pi^3sinhl((2m-1)pi xr)sinhl((2m-1)pir)sinl((2m-1)pi yr)

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