Exercício 5.1. (Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Retângulo) Resolva os seguintes problemas:
l se 0
Passo 1
O problema pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo 0<x<1, 0<y<1 com as condições de contorno
u(x,0)=x(1−x), u(x,1)=0, u(0,y)=u(1,y)=0. Para isso vamos usar separação de variáveis e expandir o valor de contorno inferior em série de Fourier seno.
Passo 2
Assumimos uma solução por separação de variáveis da forma
u(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo em uxx+uyy=0 e dividindo por XY obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y)=0
o que implica em duas ODEs com parâmetro lambda:
X'' + lambda X=0, Y'' - lambda Y=0
Passo 3
Pela condição de contorno em x, temos
X(0)=0,;X(1)=0
e isso só admite autovalores lambdan=(npi)^2 e autofunções