Exercício 5.1. (Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Retângulo) Resolva os seguintes problemas:
lux z+uy y=0 u(x, 0)=x(1-x), u(x, 1)=0 u(0, y)=u(1, y)=0
l se 0

Passo 1

O problema pede a solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo 0<x<1, 0<y<1 com as condições de contorno
u(x,0)=x(1−x), u(x,1)=0, u(0,y)=u(1,y)=0. Para isso vamos usar separação de variáveis e expandir o valor de contorno inferior em série de Fourier seno.

Passo 2

Assumimos uma solução por separação de variáveis da forma
u(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo em uxx+uyy=0 e dividindo por XY obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y)=0
o que implica em duas ODEs com parâmetro lambda:
X'' + lambda X=0, Y'' - lambda Y=0

Passo 3

Pela condição de contorno em x, temos
X(0)=0,;X(1)=0
e isso só admite autovalores lambdan=(npi)^2 e autofunções
Xn(x)=sin(npi x),;n=1,2,3,dots
A solução geral fica então
u(x,y)=sumn=1^inftyl[Ansinh(npi y)+Bncosh(npi y)r]sin(npi x)

Passo 4

Usando as condições em y temos em y=0
u(x,0)=sumn=1^infty Bnsin(npi x)=f(x)=x(1-x)
o que mostra que Bn é o coeficiente de Fourier seno de f. Em y=1
u(x,1)=sumn=1^inftyl[Ansinh(npi)+Bncosh(npi)r]sin(npi x)=0
para todo x, logo
Ansinh(npi)+Bncosh(npi)=0;Rightarrow;An=-Bncoth(npi)

Passo 5

Substituindo An na expansão e usando identidades de hiperbólicas, chega-se a
Ansinh(npi y)+Bncosh(npi y) =Bnsinhl(npi(1-y)r)sinh(npi)
Logo
u(x,y)=sumn=1^infty Bnsin(npi x)sinhl(npi(1-y)r)sinh(npi)

Passo 6

Falta só calcular
Bn=2integral0^1 x(1-x)sin(npi x),dx
Fazendo a integral por partes e usando sin(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n, obtém-se
Bn=4l[1-(-1)^nr](npi)^3
que anula para n par e deixa só termos com n ímpar.

Passo 7

Reagrupando tudo, a solução final fica dada pela série só em n ímpares:

Resposta

u(x,y)=sumk=0^infty8l((2k+1)pir)^3sinl((2k+1)pi xr),sinhl((2k+1)pi(1-y)r)sinhl((2k+1)pir)

Exercícios relacionados