Use o método de separaçào de variáveis para resolver o problema de Neumann no retângulo
uz x+uy y=0 & se 0
assumindo a condiçāo
integral0^b f(y) d y=0
Porque esta condiçāo é necessária para existir uma soluçāo para o problema de Neumann?
Note que a soluçāo que você obteve nāo é única, pois somando uma constante arbitrária a uma soluçāo do problema de Neumann ela ainda é uma solução para o problema.

Passo 1

O problema pede para resolver a equação de Laplace uxx+uyy=0 no retângulo 0 com condições de Neumann: uy(x,0)=uy(x,b)=0, ux(0,y)=0 e ux(a,y)=f(y), assumindo integral0^b f(y),dy=0. Vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Suponha u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
que se separa em
X''(x) = lambda X(x), Y''(y) = -lambda Y(y)

Passo 3

Para a variável y temos a EDO
Y'' + lambda Y = 0,
com as condições Y'(0)=0 e Y'(b)=0. As autovalores e autofunções são
lambdan = l(tfracnpibr)^2, Yn(y) = cosl(tfracnpi ybr), n=0,1,2,dots

Passo 4

Para cada n>=1, a EDO em x é
Xn'' - l(tfracnpibr)^2 Xn = 0,
com Xn'(0)=0. A solução geral é
Xn(x) = Ancoshl(tfracnpi xbr)
satisfazendo a condição em x=0. No caso n=0, X0''=0 e X0'(0)=0 dão X0(x)= constante.

Passo 5

A condição em x=a impõe
ux(a,y)=f(y)
Como
ux(x,y)=sumn=1^infty Annpibsinhl(tfracnpi xbr)cosl(tfracnpi ybr),
em
f(y)=sumn=0^infty Fncosl(tfracnpi ybr),
com
F0=1bintegral0^b f(y),dy, Fn=2bintegral0^b f(y)cosl(tfracnpi ybr),dy (n>=1),
comparamos coeficientes para n>=1:
Annpibsinhl(tfracnpi abr) = Fn Longrightarrow An = bnpisinhl(tfracnpi abr),Fn

Passo 6

A condição integral0^b f(y),dy=0 garante F0=0, ou seja, não há modo constante não uniforme, cumprindo a condição de compatibilidade do problema de Neumann. Além disso, a solução fica determinada apenas até uma constante aditiva.

Passo 7

Reunindo tudo, obtemos a solução geral
u(x,y)=C + sumn=1^infty b,Fnnpisinhl(tfracnpi abr)coshl(tfracnpi xbr)cosl(tfracnpi ybr)

Resposta

A solução do problema de Neumann é
u(x,y)=C + sumn=1^infty b,Fnnpisinhl(tfracnpi abr)coshl(tfracnpi xbr)cosl(tfracnpi ybr),
onde
Fn=2bintegral0^b f(y)cosl(tfracnpi ybr),dy (n>=1),
a constante C reflete a não unicidade (soma de constante) e a condição
integral0^b f(y),dy=0
é necessária para que o modo constante n=0 seja compatível, garantindo existência da solução.

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