Use o método de separaçào de variáveis para resolver o problema de Neumann no retângulo
assumindo a condiçāo
integral0^b f(y) d y=0
Porque esta condiçāo é necessária para existir uma soluçāo para o problema de Neumann?
Note que a soluçāo que você obteve nāo é única, pois somando uma constante arbitrária a uma soluçāo do problema de Neumann ela ainda é uma solução para o problema.
Passo 1
O problema pede para resolver a equação de Laplace uxx+uyy=0 no retângulo 0 com condições de Neumann: uy(x,0)=uy(x,b)=0, ux(0,y)=0 e ux(a,y)=f(y), assumindo integral0^b f(y),dy=0. Vamos usar separação de variáveis.
Passo 2
Suponha u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
que se separa em
X''(x) = lambda X(x), Y''(y) = -lambda Y(y)
Passo 3
Para a variável y temos a EDO
Y'' + lambda Y = 0,
com as condições Y'(0)=0 e Y'(b)=0. As autovalores e autofunções são
Annpibsinhl(tfracnpi abr) = Fn Longrightarrow An = bnpisinhl(tfracnpi abr),Fn
Passo 6
A condição integral0^b f(y),dy=0 garante F0=0, ou seja, não há modo constante não uniforme, cumprindo a condição de compatibilidade do problema de Neumann. Além disso, a solução fica determinada apenas até uma constante aditiva.