Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
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Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região em coordenadas polares definida por 2<r<3 e 5π/3≤θ≤7π/3. O conteúdo aqui é análise de regiões em coordenadas polares, onde r é a distância ao polo e θ é o ângulo medido a partir do eixo positivo dos x.

Passo 2

Primeiro vamos entender o intervalo angular. Em graus temos 5π/3=300° e 7π/3=420°, que equivale a 60° além de 360°. A largura angular do setor é
7π/3 - 5π/3 = 2π/3
o que dá 120° de abertura.

Passo 3

Agora o intervalo radial 2<r<3 indica que a região fica entre dois círculos concêntricos: um de raio 2 (não incluso) e outro de raio 3 (tampouco incluso). Ou seja, é um anel aberto.

Passo 4

Para esboçar, desenhe dois círculos centrados na origem com raios 2 e 3. Depois marque as duas semi-retas (do polo para fora) nos ângulos θ=5π/3 (300°) e θ=7π/3 (equivalente a 60°). Essas retas passam pelo eixo positivo dos x: uma descendo a 60° abaixo do eixo e outra subindo a 60° acima.

Passo 5

A região procurada é o “setor anelar” entre esses dois círculos, limitado pelas duas semi-retas. Como o intervalo de θ atravessa 2π, o setor cruza o eixo positivo dos x e forma um arco de 120° centrado nesse eixo.

Passo 6

Portanto, o esboço mostra um anel entre r=2 e r=3, com um setor de abertura 120° que vai de 300° até 420°, isto é, de –60° até +60° em relação ao eixo positivo dos x.

Resposta

Um setor anelar centrado na origem entre os círculos r=2 e r=3, de abertura 120°, limitado pelas semi-retas em θ=5π/3 e θ=7π/3 (equivalente a um setor de –60° a +60° em torno do eixo positivo dos x).

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