$\int_{0}^{+\infty} e^{-s t} \sin (k t) d t, \quad k, s \in \mathbb{R}, \quad s>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\sin(k t)\,dt,
onde k,s\in\mathbb{R} e foi dada a condição s>0.
Informações fornecidas e objetivo claro:
  • Dado: a função integrando é t\mapsto e^{-s t}\sin(k t).
  • Condição importante: s>0 (garante decaimento exponencial).
  • Objetivo: encontrar o valor numérico (em função de k e s) da integral imprópria.

Passo 2

Justificativa de existência/convergência da integral (razão para podermos calcular limites de integrais por partes).
Observação simples: para todo t\ge0 vale |\sin(k t)|\le1, então
\big|e^{-s t}\sin(k t)\big|\le e^{-s t}.
Como s>0 a integral \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,dt converge (é igual a 1/s). Pelo teste da comparação a integral original converge absolutamente e, em particular, existe o valor buscado. Além disso os termos de contorno do tipo e^{-s t}\sin(k t) ou e^{-s t}\cos(k t) tendem a 0 quando t\to+\infty (porque e^{-s t}\to0).

Passo 3

Definição e primeira integração por partes. Vou chamar
I=\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\sin(k t)\,dt.
Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções suficientemente suaves,
\int u\,dv = uv\Big|_{0}^{R} - \int_{0}^{R} v\,du,
e depois toma-se R\to+\infty. Escolho u=\sin(k t) e dv=e^{-s t}\,dt. Então
du = k\cos(k t)\,dt,\qquad v = -\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando a fórmula em [0,R] e passando ao limite R\to+\infty,
I = \left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\sin(k t)\right]_{0}^{\infty} + \frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.
Pelo argumento do passo anterior o termo de contorno avaliado no infinito é 0, e em t=0 a expressão é 0 também (pois \sin 0=0). Portanto o termo de contorno some e obtemos
I = \frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.
Defina, para facilitar, a integral
J=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.
Assim I=\dfrac{k}{s}\,J.

Passo 4

Cálculo de J por outra integração por partes. Escolho agora u=\cos(k t) e dv=e^{-s t}\,dt. Então
du = -k\sin(k t)\,dt,\qquad v = -\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando integração por partes em [0,R] e levando R\to\infty,
J = \left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\cos(k t)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{1}{s}e^{-s t}\right)\big(-k\sin(k t)\big)\,dt.
Avaliação do termo de contorno: em t\to\infty a parte com e^{-s t} vai a 0; em t=0 obtém-se -\dfrac{1}{s}\cos 0=-\dfrac{1}{s}. Portanto o termo de contorno total vale 0-(-1/s)=1/s. O integrando restante simplifica para (k/s)e^{-s t}\sin(k t). Assim
J = \frac{1}{s} - \frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(k t)\,dt.
Reconhecendo a integral na última parcela como I, obtemos
J = \frac{1}{s} - \frac{k}{s}I.

Passo 5

Resolução do sistema linear entre I e J. Das relações anteriores temos
I = \frac{k}{s}J \qquad\text{e}\qquad J = \frac{1}{s} - \frac{k}{s}I.
Substituindo J na primeira equação:
I = \frac{k}{s}\left(\frac{1}{s} - \frac{k}{s}I\right).
Agora resolvemos para I. Desenvolvendo,
I = \frac{k}{s^{2}} - \frac{k^{2}}{s^{2}}I.
Passando o termo com I para o lado esquerdo:
I\left(1 + \frac{k^{2}}{s^{2}}\right) = \frac{k}{s^{2}}.
Colocando em denominador comum:
I\frac{s^{2}+k^{2}}{s^{2}} = \frac{k}{s^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2} e isolando I resulta
I = \frac{k}{s^{2}+k^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida e comentário didático. A fórmula encontrada
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(k t)\,dt = \frac{k}{s^{2}+k^{2}}
é a mesma que se obtém usando a transformada de Laplace (pois \mathcal{L}\{\sin(k t)\}(s)=k/(s^{2}+k^{2}) para s>0). Também pode-se checar com um exemplo numérico simples: para k=2 e s=1 a integral vale 2/(1+4)=2/5.

Resposta

\frac{k}{s^{2}+k^{2}}

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