Objetivo: encontrar o valor numérico (em função de k e s) da integral imprópria.
Passo 2
Justificativa de existência/convergência da integral (razão para podermos calcular limites de integrais por partes).
Observação simples: para todo t\ge0 vale |\sin(k t)|\le1, então
\big|e^{-s t}\sin(k t)\big|\le e^{-s t}.
Como s>0 a integral \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\,dt converge (é igual a 1/s). Pelo teste da comparação a integral original converge absolutamente e, em particular, existe o valor buscado. Além disso os termos de contorno do tipo e^{-s t}\sin(k t) ou e^{-s t}\cos(k t) tendem a 0 quando t\to+\infty (porque e^{-s t}\to0).
Passo 3
Definição e primeira integração por partes. Vou chamar
I=\int_{0}^{+\infty} e^{-s t}\sin(k t)\,dt.
Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções suficientemente suaves,
e depois toma-se R\to+\infty. Escolho u=\sin(k t) e dv=e^{-s t}\,dt. Então
du = k\cos(k t)\,dt,\qquad v = -\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando a fórmula em [0,R] e passando ao limite R\to+\infty,
I = \left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\sin(k t)\right]_{0}^{\infty} + \frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.
Pelo argumento do passo anterior o termo de contorno avaliado no infinito é 0, e em t=0 a expressão é 0 também (pois \sin 0=0). Portanto o termo de contorno some e obtemos
I = \frac{k}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.
Defina, para facilitar, a integral
J=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(k t)\,dt.
Assim I=\dfrac{k}{s}\,J.
Passo 4
Cálculo de J por outra integração por partes. Escolho agora u=\cos(k t) e dv=e^{-s t}\,dt. Então
du = -k\sin(k t)\,dt,\qquad v = -\frac{1}{s}e^{-s t}.
Aplicando integração por partes em [0,R] e levando R\to\infty,
Avaliação do termo de contorno: em t\to\infty a parte com e^{-s t} vai a 0; em t=0 obtém-se -\dfrac{1}{s}\cos 0=-\dfrac{1}{s}. Portanto o termo de contorno total vale 0-(-1/s)=1/s. O integrando restante simplifica para (k/s)e^{-s t}\sin(k t). Assim
é a mesma que se obtém usando a transformada de Laplace (pois \mathcal{L}\{\sin(k t)\}(s)=k/(s^{2}+k^{2}) para s>0). Também pode-se checar com um exemplo numérico simples: para k=2 e s=1 a integral vale 2/(1+4)=2/5.