Nos problemas a seguir, use a definição para calcular
{f(t)}, em que:
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- A função é dada por
- O que pedem: calcular
usando a definição do transformada de Laplace. - A definição que vamos usar é
e devemos indicar a condição de convergência em
(normalmente
para integrais com fator
).]
Passo 2
Aplicando a definição ao
dado, como
em
, a integral a partir de
até
reduz-se à integral a partir de
até
de
. Assim,
Para que a integral imprópria convirja, precisamos de
(isso garante que
quando
em média e a integral converge).
Passo 3
Vamos calcular a integral
para obter uma primitiva e depois avaliar de
a
. Faremos por partes duas vezes.
Defina
Fazendo integração por partes com
e
(portanto
e
), obtemos
Chame
Agora calcule
por partes: tome
,
(logo
,
). Assim
Passo 4
Volte à expressão para
e substitua
:
Desenvolvendo,
Reagrupando os termos com
,
Multiplicando por
obtemos a primitiva explícita:
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida
Pelo resultado encontrado para a primitiva, temos
Quando
, o fator
faz com que
quando
porque
e
são limitados e
. Logo a contribuição no infinito é zero. Assim
Usando
e
, isso simplifica para
Passo 6
Portanto a transformada de Laplace pedida é
válida para
.