Nos problemas a seguir, use a definição para calcular mathscr{L}{f(t)}, em que:
f(t)=\left\{\begin{aligned} 0, & 0 \leq t<\pi / 2 \\\ \cos t, & t \geq \pi / 2\end{aligned}\right.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A função é dada por
f(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<\pi/2,\\[4pt] \cos t, & t\ge \pi/2. \end{cases}
  • O que pedem: calcular \mathscr{L}\{f(t)\} usando a definição do transformada de Laplace.
  • A definição que vamos usar é
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
e devemos indicar a condição de convergência em s (normalmente \Re(s)>0 para integrais com fator e^{-st}).]

Passo 2

Aplicando a definição ao f(t) dado, como f(t)=0 em 0\le t<\pi/2, a integral a partir de 0 até \infty reduz-se à integral a partir de \pi/2 até \infty de \cos t\,e^{-st}. Assim,
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt =\int_{\pi/2}^{\infty} \cos t\,e^{-st}\,dt.
Para que a integral imprópria convirja, precisamos de \Re(s)>0 (isso garante que e^{-st}\to 0 quando t\to\infty em média e a integral converge).

Passo 3

Vamos calcular a integral
I(t)=\int e^{-st}\cos t\,dt
para obter uma primitiva e depois avaliar de \pi/2 a \infty. Faremos por partes duas vezes.
Defina
I=\int e^{-st}\cos t\,dt.
Fazendo integração por partes com u=\cos t e dv=e^{-st}dt (portanto du=-\sin t\,dt e v=-\dfrac{e^{-st}}{s}), obtemos
I=-\frac{e^{-st}\cos t}{s}-\frac{1}{s}\int e^{-st}\sin t\,dt.
Chame
J=\int e^{-st}\sin t\,dt.
Agora calcule J por partes: tome u=\sin t, dv=e^{-st}dt (logo du=\cos t\,dt, v=-\dfrac{e^{-st}}{s}). Assim
J=-\frac{e^{-st}\sin t}{s}+\frac{1}{s}\int e^{-st}\cos t\,dt =-\frac{e^{-st}\sin t}{s}+\frac{1}{s}I.

Passo 4

Volte à expressão para I e substitua J:
I=-\frac{e^{-st}\cos t}{s}-\frac{1}{s}J =-\frac{e^{-st}\cos t}{s}-\frac{1}{s}\Big(-\frac{e^{-st}\sin t}{s}+\frac{1}{s}I\Big).
Desenvolvendo,
I=-\frac{e^{-st}\cos t}{s}+\frac{e^{-st}\sin t}{s^2}-\frac{I}{s^2}.
Reagrupando os termos com I,
I\Big(1+\frac{1}{s^2}\Big)=\frac{-s e^{-st}\cos t + e^{-st}\sin t}{s^2}.
Multiplicando por \dfrac{s^2}{s^2+1} obtemos a primitiva explícita:
I=\int e^{-st}\cos t\,dt =\frac{e^{-st}\big(-s\cos t+\sin t\big)}{s^2+1}+C.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida
\int_{\pi/2}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt =\lim_{b\to\infty}\Big[I(b)-I\big(\tfrac{\pi}{2}\big)\Big].
Pelo resultado encontrado para a primitiva, temos
I(t)=\frac{e^{-st}\big(-s\cos t+\sin t\big)}{s^2+1}.
Quando \Re(s)>0, o fator e^{-st} faz com que I(b)\to 0 quando b\to\infty porque \cos b e \sin b são limitados e e^{-s b}\to 0. Logo a contribuição no infinito é zero. Assim
\int_{\pi/2}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt =0 - I\big(\tfrac{\pi}{2}\big) =-\frac{e^{-s\pi/2}\big(-s\cos(\tfrac{\pi}{2})+\sin(\tfrac{\pi}{2})\big)}{s^2+1}.
Usando \cos(\tfrac{\pi}{2})=0 e \sin(\tfrac{\pi}{2})=1, isso simplifica para
\int_{\pi/2}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt =-\frac{e^{-s\pi/2}}{s^2+1}.

Passo 6

Portanto a transformada de Laplace pedida é
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=-\frac{e^{-s\pi/2}}{s^2+1},
válida para \Re(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathscr{L}\{f(t)\}(s)=-\frac{e^{-s\pi/2}}{s^2+1}\quad(\Re(s)>0)

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