Em n=4 ensaios de Bernoulli, a probabilidade de sucesso em cada um é p=0,4. Qual a probabilidade P_{k} de observarmos exatamente k=3 sucessos? Onde
P_{k}=\binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot(1-p)^{n-k}

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de observarmos exatamente k=3 sucessos em n=4 ensaios de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso em cada ensaio igual a p=0,4. A fórmula fornecida é
P_{k}=\binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot(1-p)^{n-k}.
Informações dadas que vamos usar:
n=4,\quad k=3,\quad p=0,4,\quad 1-p=0,6.

Passo 2

Entendendo a fórmula: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios, entre os n, serão sucessos. A expressão p^{k} é a probabilidade de que exatamente esses k escolhidos sejam sucessos (cada um com probabilidade p), e (1-p)^{n-k} é a probabilidade de que os n-k restantes sejam falhas (cada uma com probabilidade 1-p). Multiplicamos tudo porque queremos a combinação de escolher quais são os sucessos e a probabilidade de cada configuração.

Passo 3

Calcular o coeficiente binomial \binom{n}{k}. Usamos a fórmula com fatoriais:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Substituindo n=4 e k=3:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!1!}=\frac{24}{6\cdot 1}=4.
Então existem 4 maneiras diferentes de obter exatamente 3 sucessos em 4 ensaios.

Passo 4

Calcular p^{k}. Como p=0,4 e k=3,
p^{3}=(0,4)^{3}=(0,4)\cdot(0,4)\cdot(0,4).
Fazendo as multiplicações:
0,4\cdot0,4=0,16,
0,16\cdot0,4=0,064.
Portanto p^{3}=0,064.

Passo 5

Calcular (1-p)^{\,n-k}. Como 1-p=0,6 e n-k=1,
(1-p)^{\,1}=0,6.

Passo 6

Multiplicar p^{k} por (1-p)^{n-k}:
0,064\cdot0,6.
Para ver direitinho, pense em inteiros: 64\cdot6=384. Como 0,064 tem três casas decimais e 0,6 tem uma casa decimal, o produto terá 3+1=4 casas decimais:
0,064\cdot0,6=0,0384.

Passo 7

Agora multiplica-se pelo coeficiente binomial \binom{4}{3}=4:
P_{3}=4\cdot 0,0384.
Calcule 4\cdot38,4 em escala de milésimos: 4\cdot0,0384=0,1536. Logo
P_{3}=0,1536.

Passo 8

(Alternativa com frações, útil para conferir sem lidar com vírgulas) Reescrevendo p e 1-p como frações:
p=\tfrac{2}{5},\quad 1-p=\tfrac{3}{5}.
Então
P_{3}= \binom{4}{3}\left(\tfrac{2}{5}\right)^{3}\left(\tfrac{3}{5}\right) =4\cdot \frac{8}{125}\cdot\frac{3}{5} =4\cdot\frac{24}{625} =\frac{96}{625}.
Confere com o decimal 0,1536 porque \tfrac{96}{625}=0,1536.

Passo 9

Interpretação final e dica de prova: P_{3}=0,1536 significa que em cerca de 15,36\% das repetições de 4 ensaios independentes com p=0,4 esperamos exatamente 3 sucessos. No prova, calcule primeiro \binom{n}{k} por fatoriais ou raciocínio combinatório, em seguida calcule p^{k} e (1-p)^{n-k} separadamente e só então multiplique — isso evita erros de casas decimais.

Resposta

\dfrac{96}{625}\n 0,1536

Exercícios relacionados