Em
ensaios de Bernoulli, a probabilidade de sucesso em cada um é
. Qual a probabilidade
de observarmos exatamente
sucessos? Onde
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de observarmos exatamente
sucessos em
ensaios de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso em cada ensaio igual a
. A fórmula fornecida é
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
Entendendo a fórmula:
é o número de maneiras de escolher quais
ensaios, entre os
, serão sucessos. A expressão
é a probabilidade de que exatamente esses
escolhidos sejam sucessos (cada um com probabilidade
), e
é a probabilidade de que os
restantes sejam falhas (cada uma com probabilidade
). Multiplicamos tudo porque queremos a combinação de escolher quais são os sucessos e a probabilidade de cada configuração.
Passo 3
Calcular o coeficiente binomial
. Usamos a fórmula com fatoriais:
Substituindo
e
:
Então existem 4 maneiras diferentes de obter exatamente 3 sucessos em 4 ensaios.
Passo 4
Calcular
. Como
e
,
Fazendo as multiplicações:
Portanto
.
Passo 5
Calcular
. Como
e
,
Passo 6
Multiplicar
por
:
Para ver direitinho, pense em inteiros:
. Como
tem três casas decimais e
tem uma casa decimal, o produto terá
casas decimais:
Passo 7
Agora multiplica-se pelo coeficiente binomial
:
Calcule
em escala de milésimos:
. Logo
Passo 8
(Alternativa com frações, útil para conferir sem lidar com vírgulas) Reescrevendo
e
como frações:
Então
Confere com o decimal
porque
.
Passo 9
Interpretação final e dica de prova:
significa que em cerca de
das repetições de 4 ensaios independentes com
esperamos exatamente 3 sucessos. No prova, calcule primeiro
por fatoriais ou raciocínio combinatório, em seguida calcule
e
separadamente e só então multiplique — isso evita erros de casas decimais.